Противоположный число знаком плюс. Видеоурок «Противоположные числа

5 и -5 (рис. 61) одинаково удалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами: 5 противоположно - 5, а -5 противоположно 5.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Например, противоположными числами будут 8 и -8, так как число 8 = + 8, значит, числа 8 и - 8 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут

Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

Число 0 противоположно самому себе.

Число, противоположное числу о, обозначают -а. Если а=-7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то - а= -8,3; если а = 0, то -а = 0. Запись « - (-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(- 15) = 15. Вообще -(- а)=а.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

? Какие числа называют противоположными?

Число b противоположно числу а. Какое число противоположно числу b?

Какое число противоположно нулю?

Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа?

Какие числа называют целыми?

К 910. Найдите числа, противоположные числам:

911. Поставьте вместо такое число, чтобы получилось верное равенство:

912. Найдите значение выражения:

913. Найдите координаты точек А, В и С (рис. 62).

914. Каким числом является - х, если х:

а) отрицательное; б) нуль; в) положительное?

915. Заполните пустые места в таблице и отметьте на координатной прямой точки, имеющие своими координатами числа полученной таблицы.

916. Решите уравнение:

а) - х = 607; б) - а = 30,4; в) - y= -3

917. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:

П 918. Вычислите усно:

919. Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число: 2,6; -3: 0; -6; -8

920. Найдите числа, которые на координатной прямой находятся на расстоянии: а) 6 единиц от числа -9; б) 10 единиц от числа 4; в) 10 единиц от числа -4; г) 100 единиц от числа 0.

921. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину 4 клеток тетради, и отметьте на этой прямой точки , F(2,25).

А 922. Отметьте на «линии времени» следующие события из истории математики:

а) Книга «Начала» была написана Евклидом в III в. до н. э.

б) Теория чисел зародилась в Древней Греции в VI в. до н. э.

в) Десятичные дроби появились в Китае в III в.

г) Теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в. до н. э.

д) Позиционная десятичная система счисления распространилась в странах Востока в IX в. Сколько веков назад произошли эти события? Сравните «линию времени» и координатную прямую.

923. Укажите пары взаимно обратных чисел:

924. Витя купил 2,4 кг моркови. Сколько моркови купил Коля, если известно, что он купил:

а) на 0,7 кг больше Вити; е) того, что купил Витя;
б) на 0,9 кг меньше Вити; ж) 0,5 того, что купил Витя;
в) в 3 раза больше Вити; з) 20% того, что купил Витя;
г) в 1,2 раза меньше Вити; и) 120% того, что купил Витя;
д) того, что купил Витя; к) на 20% больше того, что купил Витя?

925. Решите задачу:

1) Кирпичный завод должен был изготовить для строительства Дворца культуры 270 тыс. штук кирпича. В первую
неделю он изготовил задания, во вторую неделю он изготовил на 10% больше, чем в первую неделю. Сколько тысяч штук кирпича осталось изготовить заводу?

2) Колхоз продал государству за три дня 434 т зерна. В первыи день он продал этого количества, во второй день -на 10% меньше, чем в первый день, а в третий день - остальное зерно. Сколько тонн зерна продал колхоз в третий день?

926. Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком обозначают целую, ноту вдвое короче - половинную , шестнадцатую .

Проверьте равенство длительностей:

Д 927. Какие числа противоположны числам:

928. Запишите все натуральные числа, меньшие 5, и числа, им противоположные.

929. Найдите значение:

930. Во второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем в первый день, а в третий день в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки выдали в эти три дня, если в первый день выдали на 30 кг меньше, чем в третий?

931. В колхозе на поливных землях собирали с гектара 60,8 ц пшеницы. Замена старого сорта пшеницы новым дает прибавку урожая на 25%. Сколько теперь пшеницы собирает колхоз с 23 га поливного поля?

932. Составьте по каждой схеме уравнение и решите его:

933. Найдите значение выражения:

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Рассмотрим такой пример. Нужно последовательно посчитать: .

Можно переставить вперед числа, которые необходимо складывать, а затем выполнить вычитание оставшихся: .

Но это не всегда удобно. Например, мы можем вычислять остаток вещей на каком-нибудь складе и нам необходимо знать промежуточный результат.

Можно выполнять действия и подряд: .

Мы знаем, что , значит, результатом будет вычитание из числа . Это значит, что надо вычесть , но пока не из чего. Когда будет из чего вычесть, вычтем:

Но мы можем «схитрить» и обозначить . Таким образом, мы введем новый объект - отрицательные числа .

Такую операцию мы уже проделывали - в природе, например, числа «» тоже не существовало, но мы ввели такой объект, чтобы облегчить запись действий.

Представьте, что нам на спортивном складе поручили выдавать и принимать мячи. Нам нужно вести учет. Можно писать словами:

Выдал , Принял , Выдал , Принял , … (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Учет

Согласитесь, если выдавать и принимать за день нужно много раз, то запись не очень удобная.

Можно разделить лист на две колонки, одна - Принял, другая - Выдал. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Упрощенная запись

Запись стала короче. Но вот проблема: как понять, сколько мячей взяли (или отдали) в какой-то конкретный момент времени?

Можно использовать для записи следующее соображение: когда мы выдаем со склада мячи, то их количество на складе уменьшается, а когда принимаем, то увеличивается.

Но как записать «выдал мяча»? Можно ввести такой объект: .

Это объект позволяет нам сделать математическую запись движения мячей в том порядке, как это происходило:

Рассмотрим еще один пример.

На счету вашего телефона рублей. Вы вышли в Интернет, и это стоило рублей. Получился долг рублей. Оператор мог так и записать: «клиент должен рублей». Вы положили рублей. Оператор вычел долг. Получилось на счету рублей.

Но удобно записывать и операции и деньги на счету с помощью знаков «» и «». (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Удобная запись

Отрицательное число мы вводим, чтобы записать результат вычитания из меньшего числа большего: .

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию: .

Чтобы отрицательные числа отличать от положительных чисел, с которыми мы имели дело раньше, перед ним договорились ставить знак минус: .

Можно было бы обойтись без них? Да можно. В каждой конкретной ситуации мы бы использовали слова «назад», «в долг» и так далее. Но они, эти слова, были бы разные.

А так у нас появляется универсальный удобный инструмент. Один для всех таких случаев.

Можем провести аналогию с автомобилем. Он состоит из большого количества деталей, многие из которых в отдельности не нужны, но все вместе позволяют ездить. Так же и отрицательные числа - инструмент, который вместе с другими математическими инструментами позволяет облегчить вычисления и упростить решение и запись многих задач.

Итак, мы ввели новый объект - отрицательные числа. Для чего их используют в жизни?

Для начала вспомним роли положительных чисел:

Количество: например дерева, литра молока. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Количество

Упорядочивание: например, дома нумеруются положительными числами. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Упорядочивание

Имя: например, номер футболиста. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Число в качестве имени

Теперь посмотрим на функции отрицательных чисел:

Обозначение недостающего количества. Количество отрицательным не бывает. Но отрицательное число используют, чтобы показать, что количество отнимают. Например, мы может вылить из бутылки и записать это как . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Обозначение недостающего количества

Упорядочивание. Иногда при нумерации выбран ноль и нужно пронумеровать объекты в обе стороны от нуля. Например, этажи, расположенные ниже -го, в подвале. (См. Рис. 8.) Или температура, которая ниже выбранного нуля. (См. Рис. 9.)

Рис. 8. Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Рис. 9. Отрицательные числа на шкале термометра

Но все-таки основное предназначение отрицательных чисел - это инструмент для упрощения математических расчетов.

Но чтобы отрицательные числа стали таким удобным инструментом, нужно:

Отрицательная температура - это та, которая ниже нуля, ниже нулевой температуры. Но что такое нулевая температура? Чтобы измерять, записывать температуру нужно выбрать единицу измерения и точку отсчета. И то и другое является договоренностью. Мы используем шкалу Цельсия по имени ученого, который ее предложил. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Андерс Цельсий

В качестве точки отсчета здесь выбрана температура замерзания воды. Все, что ниже, обозначается отрицательным значением. (См. Рис. 11.)

Рис. 11.

Но понятно, что если взять другую точку отсчета, другой ноль, то отрицательная температура по Цельсию может быть положительной в этой другой шкале. Так и происходит. В физике широко используется шкала Кельвина. Она похожа на шкалу Цельсия, только в качестве нуля выбрано значение самой низкой возможной температуры (ниже не бывает). Это значению называют «абсолютный ноль». По Цельсию это примерно . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Две шкалы

То есть, в шкале Кельвина вообще нет отрицательных значений.

Так, наши летние .

А морозные .

То есть отрицательная температура - это условность, договоренность людей так ее называть.

Начнем с нуля. Ноль занимает особенное положение среди чисел.

Как мы уже обсудили, мы для своего удобства вычитание семи можем обозначить как отрицательное число. Так как оно означает вычитание, то и оставляем знак «» как его признак. Назовем новое число .

То есть, «» - это такое число, которое в сумме с дает ноль: . Причем в любом порядке . Это определение отрицательного (или противоположного) числа.

Для каждого числа, которое мы изучали раньше, введем новое число, отрицательное, признаком которого является знак минус перед ним. То есть для каждого прежнего числа появился его отрицательный близнец. Такие близнецы назовем противоположными числами. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Противоположные числа

Итак, определение: противоположными числами называются два числа, сумма которых равна нулю.

Внешне они отличаются только знаком «».

Если перед переменной стоит знак «», например , что это означает? Это не значит, что данная величина отрицательна. Знак минус означает, что данная величина противоположна числу : . Какое из этих чисел положительное, какое отрицательное, мы не знаем.

Если , то .

Если (отрицательное число), то (положительное число).

Какое число противоположно нулю? Мы это уже знаем.

Если ноль прибавить к любому числу, в том числе и к нулю, то исходное число не изменится. То есть сумма двух нулей равна нулю: . Но числа, сумма которых равна нулю, противоположны. Таким образом, ноль противоположен сам себе.

Итак, мы с вами дали определение отрицательных чисел, выяснили, зачем они нужны.

Теперь немного времени уделим технике. Пока нам нужно научиться для любого числа находить ему противоположное:

В последней части урока поговорим о новых названиях и обозначениях множеств, которые появляются после введения отрицательных чисел.

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M , то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N . Например, от M до нуля ­– расстояние в 2 , 4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Определение 1

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Пример 1

Допустим, наше число равно a , следовательно, ему противоположно – a (минус a). Точно таким же образом для 0 , 26 противоположно - 0 , 26 , а для 145 это будет - 145 . Если исходное число само является отрицательным, например, - 9 , то противоположное мы записываем как – (- 9) .

Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и - 12 . Противоположные рациональные числа – это 3 2 11 и - 3 2 11 , а также 8 , 128 и − 8 , 128 , 0 , (18901) и − 0 , (18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2 + 1 и - 2 + 1 .

Противоположными иррациональными числами также будут e и - e .

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

Определение 2

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно − (− a) = a . Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем число 5 . С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число - 5 , и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное - 5 как – (- 5) . Получается, что – (- 5) = 5 . Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Определение 3

Если некоторое число a является противоположным числу b , тогда и b является противоположным числу a .

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0 .

В буквенном виде это утверждение выглядит как a + (− a) = 0 .

Пример 2

Приведем примеры таких вычислений:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Тема

Тип урока

• изучение и первичное усвоение нового материала

Цели урока

Познакомиться с определениями положительных и отрицательных, противоположных чисел

Находить противоположные числа при решении упражнений, при решении уравнений

Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

Узнать, что такое противоположные числа

Научиться использовать это понятие при решении задач

Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Введение.

2. Теоретическая часть

3. Практическая часть.

4. Домашнее задание.

5. Интересные факты

Введение

Посмотрите на картинки и охарактеризуйте одним слово в чем отличие на них.

На картинках изображены противоположности.

– это два числа, равные по абсолютной величине, но имеющие разные знаки, напр. 5 и -5.

Теоретическая часть

Для начала давайте вспомним, что такое отрицательные числа . Посмотри видео :

Точки с координатами 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки O в эти точки надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами : 5 противоположно -5, а -5 противоположно 5.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами .

Например, противоположными числами будут 35 и -35, так как число 35 = +35, значит, числа 35 и -35 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут 0,8 и -0,8, ¾ и -¾ .

Свойства противоположных чисел

1). Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

2). Число 0 противоположно самому себе.

3). Число, противоположное числу а, обозначают -а. Если а = -7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то -а = -8,3; если а = 0, то -а = 0.

4). Запись «-(-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(-15) = 15. Вообще -(-а) = а.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами .

Противоположное число n" по отношению к числу n - это число, которое при сложении с n даёт нуль.

n + n" = 0

Это равенство можно переписать следующим образом:

n + n" − n = 0 − n либоn" = − n

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки.

В соответствии с этим число, противоположное числу n, обозначают − n. Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот.

1. Приведите примеры противоположных чисел.

2. Изобразите их на координатной прямой.

3. Назовите число, противоположное -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практическая часть

Пример

1) Отметьте на координатной прямой точки А(2), В(-2), С(+4), D(-3), Е(-5,2), F(5,2), G(-6), H(7). 2) Среди этих точек найдите и укажите симметричные относительно точки О(0). Что можно сказать о координатах симметричных точек?

Точки, симметричные относительно точки О(0): A(2) и B(-2), E(- 5,2) и F(5,2)

Координаты симметричных точек – это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.

Отметьте на координатной прямой точки А(-3), B(+6), С(+4,2), D(+3), Е(-4,2), F(-6) Что можно сказать об эти числах?

Из чисел 15; 2,5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 выберите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) отрицательные числа; г) положительные числа; д) противоположные числа.

1) Запишите число, противоположное числу а.

2) Укажите число, противоположное числу а, если:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

А =6, -а= - 2, -а=3,4.

1) Вспомните, что означает запись: - (- а).

2) Поставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: а) - (- 5) = *; б) 3 = – *.

Домашнее задание

1). Заполнить таблицу:

2). Найди: а) -m,

если m = -8,

если m = -16

если -k = 27

если -k = -35

если с = 41

если с = -3,6

3). Сколько пар противоположных чисел расположено между числами -7,2 и 3,6. Отметьте на координатной прямой.

4). Узнайте фамилию выдающегося ученого Франции:

А знаете ли вы, где в повседневной жизни мы сталкиваемся с положительными и отрицательными числами?

Список использованных источников

1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008 г.
3. Конспект урока на тему "Противоположные числа" Автор: Петрова В. П., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Противоположные числа определение

Противоположные числа определение:

Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаками.

Примеры противоположных чисел

Примеры противоположных чисел.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Отсюда понятно как находить число, противоположное данному: просто поменяйте знак числа.

Противоположное число числу 3 есть число минус три.

Пример. Числа противоположные данным.

Дано: числа 1; 5; 8; 9.

Найти числа противоположные данным.

Для решения этого задания просто меняем знаки заданный чисел:

Составим таблицу противоположных чисел:

Число противоположное нулю

Число противоположное нулю есть само число ноль.

Итак, противоположное число числу 0 - это 0.

Противоположные целые числа

Противоположные целые числа отличаются только знаками.

Примеры противоположных целых чисел.

10 -10
20 -20
125 -125

Пара противоположных чисел

Когда говорят о притивоположных числах всегда имеют ввиду пару противоположных чисел.

Число противоположно другому числу. И у каждого числа имеется только одно противоположное число.

Числа, противоположные натуральным

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа.

Составим таблицу противоположных чисел для первых пяти натуральных чисел:

Сумма противоположных чисел

Сумма противоположных чисел равна нулю. Ведь противоположные числа отличаются только знаком.

Главная » Наружная канализация » Противоположный число знаком плюс. Видеоурок «Противоположные числа