Как найти центр параболы. Парабола — свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y 2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей;
• найти координаты вершины;
• найти пересечение с осью ординат;
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
4. найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
5. ищем корни:

• Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Нагаева Светлана Николаевна, учитель математики МАОУ « Лицей №1» города Березники.

Проект урока по алгебре в 9 классе (гуманитарный профиль).

«Наиболее глубокий след оставляет то, что человек открыл сам».(Д. Пойя.)

Тема урока: «Вывод формул для вычисления координат вершины параболы».

Цели урока : познавательные :

Ожидаемый результат:

- осознание, принятие и разрешение проблемы учащимися;

Формирование способов получения новых знаний через сравнение и сопоставления фактов, способа от частного к общему;

Узнают формулы нахождения координат вершины и оси симметрии параболы для функций вида y = ax 2 +bx+c.

Тип урока: урок постановки учебной задачи. Методы обучения – наглядно-иллюстративный, словесный, обучение в сотрудничестве, проблемный, элементы технологии критического мышления.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, слайды презентации по теме: «Формулы для нахождения координат вершины параболы»; листы формата А3; цветные маркеры.

Технология - системно-деятельностный подход.

Этапы урока:

Психологический настрой(мотивация).

Актуализация опорных знаний(создание ситуации успеха).

Постановка проблемы.

Формулирование темы и цели урока.

Решение проблемы.

Анализ хода решения проблемы.

Применение результатов решения проблемы в последующей деятельности.

Подведение итогов урока (итог «глазами» ученика, итог «глазами» учителя.).

Домашнее задание.

Ход урока:

Психологический настрой.

Задача: Учится решать общую задачу и работать в коллективе(работа в группах по 5 чел.).

Ребята, на протяжении последних четырёх уроков мы занимались изучением квадратичной функции, но знания наши пока ещё не совсем полные, поэтому мы продолжаем изучать квадратичную функцию с целью узнать что-то новое об этой функции.

Мотивация учащихся к самостоятельной постановке темы и цели урока.

Таблица заполняется по ходу проведения урока.

Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Разминка. 1. Вынести за скобки старший коэффициент: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2.Выделить удвоенное произведение: ab; ax; b/a. 3.Возвести в квадрат: b/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.Представить в виде алгебраической суммы: а – в; x –(- b/2a).

Объясните, как, зная вид графика функции y =ƒ( x ) , построить графики функций:

а) y =ƒ(x - a ) , - с помощью параллельного переноса на а единиц вправо вдоль оси х ;

б) y =ƒ(x ) + b , - с помощью параллельного переноса на b единиц вверх вдоль оси y ;

в) y =ƒ(x - а) + b , ↔ на а единиц, ↕ на b единиц;

г) Как построить график функции y = (x - 2) 2 + 3 ? Что является ее графиком?

Назовите вершину параболы.
Графиком является парабола y = x 2 с вершиной в точке (2; 3).

Назовите координаты вершины параболы: y =x- 4x + 5 ( проблема). Почему нельзя определить координаты вершины параболы по виду функции? (другой вид имеет квадратичная функция).

Деятельность учащихся:

Строят речевые конструкции с использованием функциональной терминологии.

Обсуждение ответов. Сравнивают, сопоставляют с ранее изученными функциями, выбирают и записывают на доске знания и умения, которые им могут понадобиться для решения проблемы в столбик «ЗНАЮ»:

2.

3.

4.

В столбик «Хочу узнать»:вершину, ось симметрии параболы
.

Учащиеся могут записывать в столбики «ЗНАЮ» и «ХОЧУ ЗНАТЬ» функции как в общем виде, так и частные случаи. Постановка учебной задачи: найти координаты вершины параболы, если квадратичная функция задана в общем виде y = ax+ bx + c . Учащиеся формулируют и записывают в тетрадь тему и цель урока. (Вывод формул для вычисления координат вершины параболы. Научиться находить координаты вершины параболы новым способом – по формулам).

Решение проблемы.

Деятельность учащихся: Сравнивая «старые» знания с новыми знаниями учащиеся предлагают выделить полный квадрат. На конкретных примерах
;
и получают соответственно
;
. Находят координаты вершины и уравнение оси симметрии, Понимают, что с задачей справились, т.к. привели новую функцию к знакомому виду.

Учащиеся выделяют полный квадрат для функции
; , сравнивают полученный результат, делают вывод по данной функции. Находят координаты вершины и ось симметрии.

Сможете ли вы назвать вершину и ось параболы, если функция задана в общем виде
, не выделяя полного квадрата? Как вы будете действовать в этом случае? И как применить ваш предыдущий опыт по нахождению вершины и оси параболы?

Деятельность учащихся:

Опираясь на уже имеющиеся знания, опыт учащиеся начинают понимать, что нужно идти дальше, от частного к общему, проводят доказательства в общем виде.

Появляются новые затруднения. В группах появляется решение: . Анализ хода решения проблемы. Заслушивается один представитель от каждой группы.

Сравнивают, анализируют записи
и
, записывается в тетрадь одно общее решение поставленной задачи - формулы координат вершины параболы
.

Учащиеся делают вывод: координаты вершины и ось параболы для функции
можно найти рациональным способом.

Применение результатов по решению проблемы в последующей деятельности.

Деятельность учащихся:

Решение заданий из учебника №121; 123. Найдите координаты вершины параболы новым рациональным способом. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы.

Подведение итогов (рефлексия учебной деятельности на уроке).

Вернемся к таблице и заполним столбик «УЗНАЛ».

Итог урока «глазами» учащихся:

Итог « глазами учителя»:

Цель урока достигнута.

Учащиеся осознали, приняли и разрешили возникшую проблему.

В процессе решения учебно-проблемной задачи учащиеся не только приобрели новые знания: зависимость коэффициентов квадратного трехчлена и координат вершины параболы, уравнения оси симметрии, но самое главное на уроке – формирование обобщенных способов приобретения новых знаний, самостоятельного анализа проблемы и нахождения неизвестного.

Домашнее задание : п.7 №122 ;127(б) ;128.

P.S. Представленный урок проведен 15 октября 2014 года в рамках городского семинара учителей математики по теме «Формирование УУД на уроках математики».

На этапе «Применение результатов…» при решении заданий из учебника некоторые учащиеся начали понимать ценность своего «открытия»: более простого способа нахождения координат вершины и уравнения оси симметрии, а другие не скрывали радости, ведь не надо «мучаться» с выделением полного квадрата. Но самое главное – сделали все сами!

Содержимое:

Вершина параболы – это самая высокая или самая низкая ее точка. Чтобы найти вершину параболы, вы можете воспользоваться специальной формулой или методом дополнения до полного квадрата. Ниже описано, как это сделать.

Шаги

1 Формула для нахождения вершины

1. 1 Найдите величины a, b, и c. В квадратном уравнении коэффициент при x 2 = a, при x = b, постоянная (коэффициент без переменной) = c. Например, возьмем уравнение: y = x 2 + 9x + 18. Здесь a = 1, b = 9, and c = 18.
2. 2 Воспользуйтесь формулой для вычисления значения координаты x вершины. Вершина также является точкой симметрии параболы. Формула для нахождения координаты x параболы: x = -b/2a. Подставьте в нее соответствующие значения для вычисления x .
   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 3 Подставьте найденное значение x в исходное уравнение для вычисления значения y. Теперь, когда вам известно значение x, просто подставьте его в исходное уравнение для нахождения y. Таким образом, формулу для нахождения вершины параболы можно записать в виде функции: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)] . Это значит, что для нахождения y необходимо сначала найти x по формуле, а затем подставить значение x в исходное уравнение. Вот как это делается:
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81 - 162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 4 Запишите значения x и y в виде пары координат. Теперь, когда вам известно, что x = -9/2, а y = -9/4, запишите их как координаты в виде: (-9/2, -9/4). Вершина параболы находится по координатам (-9/2, -9/4). Если вам нужно нарисовать эту параболу, то ее вершина лежит в нижней точке, так как коэффициент при x 2 положительный.

2 Дополнение до полного квадрата

1. 1 Запишите уравнение. Дополнение до полного квадрата – еще один способ найти вершину параболы. Применив этот метод, вы найдете координаты x и y сразу, без необходимости подставлять x в исходное уравнение. Например, дано уравнение: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 Разделите каждый коэффициент на коэффициент при x 2 . В нашем случае коэффициент при x 2 равен 1, поэтому мы можем пропустить этот шаг. Деление на 1 ничего не изменит.
3. 3 Перенесите постоянную в правую часть уравнения. Постоянная – коэффициент без переменной. Здесь это "1". Перенесите 1 вправо путем вычитания 1 из обеих частей уравнения. Вот как это сделать:
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 Дополните до полного квадрата левую часть уравнения. Для этого просто найдите (b/2) 2 и прибавьте результат к обеим частям уравнения. Подставьте "4" вместо b , так как "4x" – это коэффициент b нашего уравнения.
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Теперь прибавьте 4 к обеим частям уравнения и получите:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 Упрощаем левую часть уравнения. Мы видим, что x 2 + 4x + 4 – полный квадрат. Он может быть записан в виде: (x + 2) 2 = 3
6. 6 Используйте его для нахождения координат x и y. Вы можете найти x, просто приравняв (x + 2) 2 к 0. Теперь, когда (x + 2) 2 = 0, вычисляем x: x =-2. Координата y – это постоянная в правой части полного квадрата. Итак, y = 3. Вершина параболы уравнения x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

• Правильно определяйте a, b, и c.
• Записывайте предварительные вычисления. Это не только поможет в процессе работы, но и позволит увидеть, где сделаны ошибки.
• Не нарушайте порядок вычислений.

Предупреждения

• Проверьте ваш ответ!
• Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить коэффициента a, b, и c. Если вы не знаете, ответ будет неправильным.
• Не – решение таких задач требует практики.

Функция вида , где называется квадратичной функцией .

График квадратичной функции – парабола .

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

То есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подытожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Главная » Оборудование » Как найти центр параболы. Парабола — свойства и график квадратичной функции