Эллипс определение каноническое уравнение свойства. Кривые второго порядка
Эллипс - одно из конических сечений. Его также можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек и (называемых фокусами эллипса) является постоянной величиной, обычно обозначаемой через (рис. 1).
Из
этого определения нетрудно установить, что прямая, проходящая через фокусы
эллипса, есть его ось симметрии, как и прямая, являющаяся серединным
перпендикуляром отрезка . Точка пересечения этих прямых служит
центром симметрии эллипса, его называют просто центром эллипса. Если взять
указанные прямые в качестве осей координат, то уравнение эллипса запишется в
виде 
.
Из уравнения эллипса следует, что ось абсцисс эллипс пересекает в точках и , а ось ординат - в точках и . Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами на оси абсцисс называется большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо связать две булавки ниткой и воткнуть их в чертежную доску (рис. 2), взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс.
А как получить эллипс с данными полуосями и ? Оказывается, не случайно сумма расстояний от фокусов до точки на эллипсе обозначена через . Эта сумма равна длине большой оси. Укрепленные на доске булавки задали расстояние между фокусами, его обычно обозначают через , таким образом, - расстояние от центра эллипса до его фокуса. Если рассмотреть теперь прямоугольный треугольник на рис. 1, то из него видно, что . Таким образом, если известны величины полуосей эллипса, то расстояние от его центра до каждого из фокусов будет катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной большой полуоси, и вторым катетом, равным малой полуоси. Итак, все нужные величины имеются, и можно построить искомый эллипс. Этот способ часто используют садовники при разбивке клумб.
Второй способ построения эллипса основан на том факте, что при сжатии окружности к ее диаметру получается эллипс. Способ построения точек эллипса с полуосями и ясен из рис. 3, где внешняя и внутренняя окружности имеют радиусы соответственно и .
Отношение характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее вытянут эллипс вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса принято выражать через другой параметр, общий для всех конических сечений, - эксцентриситет , который в данном случае лучше определить как отношение расстояния от центра до фокуса к длине большой полуоси . Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы. У планет, которые, как известно, движутся по эллипсам, самый маленький эксцентриситет имеет орбита Венеры (0,0068), следующий по величине эксцентриситет у Нептуна (0,0086), затем у Земли (0,0167). Самый большой эксцентриситет у Плутона (0,253), однако он не идет ни в какое сравнение с эксцентриситетами комет. Так, комета Галлея имеет эксцентриситет 0,967.
Тот факт, что эллипс является результатом сжатия окружности, объясняет, почему круглые предметы: колеса машин, иллюминаторы кораблей, циферблаты часов и т.д. - мы видим как эллипсы, если смотрим на них под углом.
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами, пересекают касательную к эллипсу в этой точке под разными углами. А это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отражения попадет в другой (рис. 1). Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико (рис. 4).
Рассмотрим поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Такая поверхность называется эллипсоидом вращения. Если вращать эллипс вокруг большой оси, то получится яйцеобразная фигура (рис. 5,а). Если вращать его вокруг малой оси, то полученная поверхность - сплюснутая сфера (рис. 5,б). Заметим, что Земля имеет такую форму, поскольку расстояние между ее полюсами (12 714 км) меньше, чем расстояние между диаметрально противоположными точками экватора (12 756 км).
Если эллипсоид вращения сжать к одной из плоскостей, проходящих через его ось, то получим поверхность, которая называется трехосным эллипсоидом или просто эллипсоидом (рис. 5,в). Уравнение эллипсоида имеет вид
.
Если какие-нибудь два из чисел , и равны, то соответствующее уравнение описывает эллипсоид вращения, а если равны все три числа - то сферу.
Любое сечение эллипсоида плоскостью является эллипсом.
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса .
Фокальное свойство эллипса
Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром эллипса, число 2a - длиной большой оси эллипса (соответственно, число a - большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.
Отношение e=\frac{c}{a} называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Геометрическое определение эллипса , выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр O эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:
\vline\,\overrightarrow{F_1M}\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow{F_2M}\,\vline\,=2a.
Записывая это равенство в координатной форме, получаем:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.
Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.
Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).
Обозначив b=\sqrt{a^2-c^2}>0 , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2\ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Следовательно, выбранная система координат является канонической.
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке O\equiv F_1\equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке O и радиусом, равным a .
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.
Директориальное свойство эллипса
Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии \frac{a^2}{c} от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).
Эллипс с эксцентриситетом 0
В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\cdot\!\left(\frac{a^2}{c}-x\right)
Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1\colon\frac{r_1}{\rho_1}=e .
Уравнение эллипса в полярной системе координат
Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1r\varphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид
r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}
где p=\frac{b^2}{a} фокальный параметр эллипса.
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси - луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_2(2c,0) (см. ):
\begin{aligned}F_2M&=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0)}=\\ &=\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.\end{aligned}
Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид
r+\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}=2\cdot a.
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac{c}{a}\cdot\cos\varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Выражаем полярный радиус r и делаем замену e=\frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=\frac{b^2}{a} :
r=\frac{a^2-c^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi},
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса
Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=\pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна 2a . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число a - большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=\pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна 2b . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число b - малой полуосью эллипса.
Действительно, b=\sqrt{a^2-c^2}\leqslant\sqrt{a^2}=a , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение k=\frac{b}{a}\leqslant1 называется коэффициентом сжатия эллипса.
Замечания 3.9
1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).
2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.
Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy
уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2
. При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0 \begin{cases}x"=x,\\y"=k\cdot y.\end{cases}
Подставляя в уравнение окружности x=x"
и y=\frac{1}{k}y"
, получаем уравнение для координат образа M"(x",y")
точки M(x,y)
: (x")^2+{\left(\frac{1}{k}\cdot y"\right)\!}^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
поскольку b=k\cdot a
. Это каноническое уравнение эллипса. 3.
Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр - центром симметрии. Действительно, если точка M(x,y)
принадлежит эллипсу . то и точки M"(x,-y)
и M""(-x,y)
, симметричные точке M
относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу. 4.
Из уравнения эллипса в полярной системе координат r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}
(см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси (r=p
при \varphi=\frac{\pi}{2}
). 5.
Эксцентриситет e
характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше e
, тем эллипс более вытянут, а чем ближе e
к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что e=\frac{c}{a}
и c^2=a^2-b^2
, получаем e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{\left(\frac{a}{b}\right)\!}^2=1-k^2,
где k
- коэффициент сжатия эллипса, 0 6.
Уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
при a 7.
Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~a\geqslant b
определяет эллипс с центром в точке O"(x_0,y_0)
, оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). При a=b=R
уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
описывает окружность радиуса R
с центром в точке O"(x_0,y_0)
. Параметрическое уравнение эллипса
в канонической системе координат имеет вид \begin{cases}x=a\cdot\cos{t},\\ y=b\cdot\sin{t},\end{cases}0\leqslant t<2\pi.
Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству \cos^2t+\sin^2t=1
. Пример 3.20.
Изобразить эллипс \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1
в канонической системе координат Oxy
. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис. Решение.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2
- большая полуось, b=1
- малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2
с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1
в уравнение эллипса, получаем \frac{1^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, точки с координатами \left(1;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!,~\left(1;\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
- принадлежат эллипсу. Вычисляем коэффициент сжатия k=\frac{b}{a}=\frac{1}{2}
; фокусное расстояние 2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}
; эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
; фокальный параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}
. Составляем уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}~\Leftrightarrow~x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}
. После основательной проработки прямых на плоскости
продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка
. Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея: Линию на плоскости называют алгебраической
, если в аффинной системе координат
её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа). Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных
степенях. Порядок линии
равен максимальному значению входящих в него слагаемых. По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат
, поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах
. Общее уравнение
линии второго порядка имеет вид , где Если , то уравнение упрощается до Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые
её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней
входящих переменных. Например: слагаемое содержит «икс» в 1-й степени; Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго
порядка: слагаемое содержит «икс» во 2-й степени; Максимальное значение: 2 Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка
. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём: В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат
. Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко…. Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду
. Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой
, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор . Очевидно, что любая линия 1-го порядка
представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй: С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов: ( и – положительные действительные числа)
1) 2) – каноническое уравнение гиперболы; 3) 4) – мнимый
эллипс; 5) – пара пересекающихся прямых; 6) – пара мнимых
пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат); 7) – пара параллельных прямых; 8) – пара мнимых
параллельных прямых; 9) – пара совпавших прямых. У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых
, параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим
. Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового. Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола
. Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова. Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса». Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу: Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом: Пример 1
Построить эллипс, заданный уравнением Решение
: сначала приведём уравнение к каноническому виду: Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса
, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению . В данном случае : Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения. Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения. По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки. Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем: Далее уравнение распадается на две функции: Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат
. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию: Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса: Эллипс
– это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами
эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: . Сейчас станет всё понятнее: Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же: Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить. На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =) В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии. Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты Вычисления проще пареной репы: ! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов!
Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра
(который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат). Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах . В нашем случае: Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины
рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: . Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат
. Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на
… смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат: Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а». На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса. Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю
. Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду: После чего находим нужные значения, дифференцируем
, интегрируем
и делаем другие хорошие вещи. Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения Пример 2
Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет. Решение и чертёж в конце урока Добавим экшена: Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:Параметрическое уравнение эллипса
Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность
Понятие алгебраической линии и её порядка
– произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»)
, причём коэффициенты не равны одновременно нулю.
, и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой
, которая представляет собой линию первого порядка
.
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей
степени.
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.
, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка
, и т.д.Что такое канонический вид уравнения?
Классификация линий второго порядка
– каноническое уравнение эллипса;
– каноническое уравнение параболы;Эллипс и его каноническое уравнение
Как построить эллипс?
Отрезок
называют большой осью
эллипса;
отрезок
– малой осью
;
число
называют большой полуосью
эллипса;
число
– малой полуосью
.
в нашем примере: .
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.
. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами 
. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .
Как найти фокусы эллипса?
, где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса
.
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл
. Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .
пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.
Окружность – это частный случай эллипса
– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.Поворот и параллельный перенос эллипса
, но разве на практике не может встретиться уравнение 
? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!
В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, 
– это неканоническая запись
эллипса 
. Запись!
– уравнение 
не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.
