Как найти допустимое значение переменной. Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения
На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.
Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .
Определение. Рациональная дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.
Примеры
рациональных выражений:
- дробные выражения; - целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя - .
Значение алгебраической дроби , как и любого алгебраического выражения , зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .
Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.
Пример 1. Вычислить значение дроби при а) , б) , в)
Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а) , б) , в) - не существует (т. к. на ноль делить нельзя).
Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.
Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.
Определение. Допустимые значения переменных - значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения .
Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.
Пример 2.
Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:
Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.
Ответ: -5.
Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных - знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.
Рассмотрим несколько аналогичных примеров.
Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.
Решение. .
Ответ. .
Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
Решение. .
Встречаются и другие формулировки данной задачи - найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это означает - найти все допустимые значения переменных. В нашем примере - это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.
Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:
Рис. 1
Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.
Ответ. .
Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
Решение. .
Изобразим полученное решение на числовой оси:
Рис. 2
Ответ. .
Пример 6.
Решение. . Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.
Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:
Рис. 3. График функции
Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.
Ответ. .
В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .
Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .
Решение. .
Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: 
.
Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . Однако, если подставить в исходное выражение, то получим - не имеет смысла.
Ответ. .
Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
48. Виды алгебраических выражений.
Из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок составляются алгебраические выражения.
Примеры алгебраических выражений:
Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то оно называется целым. Из написанных выше целыми являются выражения 1, 2 и 6.
Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то оно называется дробным. Так, из написанных выше дробными являются выражения 3 и 4.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Так, из написанных выше рациональными выражениями являются выражения 1, 2, 3, 4 и 6.
Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то такое алгебраическое выражение называется иррациональным. Так, из написанных выше иррациональными являются выражения 5 и 7.
Итак, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными. Рациональные выражения, в свою очередь, разделяются на целые и дробные.
49. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения.
Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Так, при любых значениях переменных имеют смысл целые выражения 1, 2, 6 из п. 48.
Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Так, дробное выражение 3 из п. 48 имеет смысл при всех о, кроме , а дробное выражение 4 имеет смысл при всех а, b, с, кроме значений а
Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональное выражение 5 имеет смысл только при тех а, b, при которых а иррациональное выражение 7 имеет смысл только при и (см. п. 48).
Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое выражение; его значение называется значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.
Пример. Найти значение выражения при
Решение. Имеем
50. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество.
Рассмотрим два выражения При имеем . Числа 0 и 3 называются соответственными значениями. выражений при Найдем соответственные значения тех же выражений при
Соответственные значения двух выражений могут быть равными друг другу (так, в рассмотренном примере выполняется равенство ), а могут и отличаться друг от друга (так, в рассмотренном примере ).
