Теорема о противоположных сторонах прямоугольника. Что такое прямоугольник

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.

Урок по теме « Прямоугольник и его свойства»

Цели урока:

Повторить понятие прямоугольника, опираясь на полученные знания учащихся в курсе математики 1 – 6 классов .

Рассмотреть свойства прямоугольника как частного вида параллелограмма.

Рассмотреть частное свойство прямоугольника.

Показать применение свойств к решению задач.

Ход урока .

I O рганизационный момент.

Сообщить цель урока, тему урока. (слайд 1)

II Изучение нового материала .

· Повторить:

1. Какая фигура называется параллелограммом?

2. Какими свойствами обладает параллелограмм? (слайд 2)

● Ввести понятие прямоугольника.

Какой параллелограмм можно назвать прямоугольником?

Определение: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. (слайд 3)

Значит, раз прямоугольник – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Раз у прямоугольника другое название, то должно быть своё свойство (слайд 4).

● Задание для учащихся (самостоятельно): исследуйте стороны, углы и диагонали параллелограмма и прямоугольника, записав результаты в таблицу.

Сделать вывод: диагонали прямоугольника равны.

● Этот вывод и является частным свойством прямоугольника:

Теорема. Диагонали прямоугольника равны. (слайды 5)

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆ АСD и ∆ АВD:

а) АDС = https://pandia.ru/text/78/059/images/image005_65.jpg" width="120" height="184 src=">а) б) 181">

2. Найди стороны прямоугольника, зная, что его периметр равен 24 см.

1)АСD - прямоугольный, в нем САD = 30°,

значит СD = 0,5АС = 6 см.

2) АВ = СD = 6 см.

3) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, т. е. АО = ВО = 6 см.

4) р (аов) = АО + ВО + АВ = 6 +6+ 6 = 18см.

Ответ: 18 см.

IV Подведение итогов урока.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. Сумма углов прямоугольника равна 360°.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

3. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4. Биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

5. Диагонали прямоугольника равны.

V Домашнее задание.

П. 45, вопросы 12,13. № 000, 401 а), 404 (слайд 16)

Дома самостоятельно рассмотреть признак прямоугольника.

География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.

Определение прямоугольника

Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.

Свойства прямоугольника

• стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
• диагонали фигуры равны;
• точка пересечения диагоналей делит их пополам;
• прямоугольник можно поделить на два равных

Признаки прямоугольника

Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:

• параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
• параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
• четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.

Еще немного интересного

Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях.

Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.

Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.

Определение.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d 2 - b 2

b = √d 2 - a 2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

Диагональ прямоугольника

Определение.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a 2 + b 2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S: sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b )

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )

Площадь прямоугольника

Определение.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:

Главная » Канализация » Теорема о противоположных сторонах прямоугольника. Что такое прямоугольник