Теорема о циркуляции вектора напряженности. Теорема о циркуляции вектора напряженности Статическое электрическое поле обладает свойствами циркуляция

Взаимодействие неподвижных зарядов реализуется посредством электростатического поля. Описывают электростатическое поле при помощи вектора напряженности ($\overline{E}$), который определен как сила ($\overline{F}$), действующая на единичный положительный заряд, размещенный в рассматриваемой точке поля:

\[\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q}\left(1\right).\]

Электростатические силы являются консервативными, это значит, что их работа по замкнутой траектории ($L$) равна нулю:

где $\overline{r}$ - перемещение.

Интеграл в формуле (2) называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Циркуляция вектора $\overline{E}$- это работа, которую могут совершить силы Кулона, перемещая положительный заряд равный единице по контуру.

Учитывая, что $q\ne 0$, получим:

\[\oint\nolimits_L{\overline{E}d\overline{r}=}0\ \left(3\right).\]

Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля говорит о том, циркуляция $\overline{E}$ по замкнутому контуру равна нулю.

В дифференциальной форме теорему о циркуляции записывают как:

Такой вид записи как (4) удобно использовать для проверки потенциальности векторного поля. Потенциальное поле является безвихревым.

Как следствие из теоремы о циркуляции $\overline{E}$: работа при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории движения.

Из теоремы о циркуляции следует, что линии электростатического поля не бывают замкнутыми, они начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

Физическая величина ($\overline{H}$), являющаяся характеристикой магнитного поля, равная:

\[\overline{H}=\frac{\overline{B}}{{\mu }_0}-{\overline{P}}_m(5)\]

называется напряженностью магнитного поля. $\overline{B}$ - вектор магнитной индукции поля; ${\mu }_0$ - магнитная постоянная; ${\overline{P}}_m$- вектор намагниченности.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция:

\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=\sum{I_m}\left(6\right).}\]

Если направление обхода контура связывается с направлением тока правилом правого винта, то ток в сумме (5) стоит со знаком плюс.

Циркуляция вектора напряженности в общем случае отлична от нуля, это означает, что магнитное поле - это вихревое поле, оно не является потенциальным.

Теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля доказывают, опираясь на закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции.

Теорема о циркуляции вектора $\overline{H}$ исполняет роль, похожую на роль теоремы Гаусса для вектора напряженности электрического поля. Если имеется симметрия при распределении токов, то используя теорему о циркуляции $\overline{H},$ находят саму напряженность магнитного поля.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Определите, является ли потенциальным электрическое поле, которое задано уравнением: $\overline{E}\left(x,y\right)=A\left(2xy\ \overline{i}+\left(x^2-y^2\right)\overline{j}\right).$

Решение. Из теоремы о циркуляции, которая записана в дифференциальном виде:

следует, что если вихрь поля равен нулю, то поле потенциально. Используя определение ротора:

\=\frac{\partial E_y}{\partial x}\overline{k}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\overline{k}\left(1.3\right).\]

Частные производные от $\overline{E}$ равны:

\[\frac{\partial E_y}{\partial x}=A\cdot 2x;;\ \frac{\partial E_x}{\partial y}=A\cdot 2x\ \left(1.4\right).\]

Подставляя (1.4) в (1.3), получаем, что

\=0.\]

Ответ. Поле является потенциальным.

Пример 2

Задание. Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура $L$ (рис.1), если $I_1=5\ A;;\ I_2=2\ A;;\ I_3=10\ A;;\ I_4=1\ A?$

Решение. Основой для решения задачи служит теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:

\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=\sum{I_m}\left(2.1\right).}\]

Контур $L$ охватывает три тока, следовательно:

\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=I_1-I_2+I_3.}\]

Вычислим циркуляцию:

\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=5-2+10=13\ (А).}\]

Ответ. $\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=13А\ .}$

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд Q o , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна:

Работа при перемещении заряда Q o из точки 1 в точку 2:

Рабата не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными.

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности . Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным .

Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Теорема о циркуляции

Ранее мы выяснили, что на заряд (q), который находится в электростатическом поле, действуют консервативные силы, работа ($A$) которых на любом замкнутом пути (L) равна нулю:

где $\overrightarrow{s}$- вектор перемещения (не путать с площадью), $\overrightarrow{E}$ -- вектор напряженности поля.

Для единичного положительного заряда можем записать:

Интеграл в левой части уравнения (2) есть циркуляция вектора напряженности по контуру L. Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю. Такое утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Докажем теорему о циркуляции на том основании, что работа поля по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения заряда в электростатическом поле, что выражается равенством:

где $L_1\ и\ L_2$ различные пути между точками А и В. Учтем, что при замене местами пределов интегрирования получим:

Выражение (4) представим как:

где $L=L_1+L_2$. Так теорема доказана.

Следствием теоремы о циркуляции является то, что линии напряженности электростатического поля незамкнуты. Они начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Теорема верна именно для статичных зарядов. Другое следствие теоремы: непрерывность тангенциальных составляющих напряженности (в отличие от нормальных составляющих). Это значит, что компоненты напряженности, которые являются касательными к выбранной любой поверхности во всякой ее точке, имеют по обе стороны поверхности равные значения.

Выделим произвольную поверхность S, которая опирается на контур L (рис.1).

В соответствии с формулой Стокса (теоремой Стокса) интеграл от ротора вектора напряженности ($rot\overrightarrow{E}$), взятый по поверхности S равен циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность:

где $d\overrightarrow{S}=dS\cdot \overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n}$ -- единичный вектор перпендикулярный участку dS. Ротор ($rot\overrightarrow{E}$) характеризует интенсивность «завихрения» вектора. Наглядное представление о роторе вектора можно получить, если маленькую легкую крыльчатку (рис.2) поместить в поток жидкости. В тех местах, где ротор не равен нулю, крыльчатка будет вращаться, причем скорость ее вращения будет тем больше, чем больше проекция модуль проекции ротора на ось крыльчатки.

При практическом вычислении ротора чаще других используют формулы:

Так как в соответствии с уравнением (6) циркуляция вектора напряжённости равна нулю, то мы получаем:

Условие (8) должно выполняться для любой поверхности S, которая опирается на контур L. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение:

причем для каждой точки поля.

По аналогии с крыльчаткой на рис. 2 представим себе электрическую «крыльчатку». На концах такой «крыльчатки» расположены одинаковые по величине заряды q. Система помещена в однородное поле с напряженностью E. В тех местах, где $rot\overrightarrow{E}\ne 0$ такое «устройство» будет вращаться с ускорением, которое зависит от проекции ротора на ось крыльчатки. В случае, электростатического поля такое «устройство» не стало бы вращаться ни при какой ориентации оси. Так как отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. Уравнение (9) представляет теорему о циркуляции в дифференциальной форме.

Пример 1

Задание: На рис. 3 изображено электростатическое поле. Что можно сказать о характеристиках данного поля из рисунка?

О данном поле можно сказать, что существование такого электростатического поля невозможно. Если выделить контур (он изображен пунктиром). Для такого контура циркуляция вектора напряженности:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}\ne 0}\left(1.1\right),\]

что противоречит теореме о циркуляции для электростатического поля. Напряженность поля определяется густотой силовых линий, она в разных частях поля не одинакова, в результате работа по замкнутому контуру будет отличаться от нуля, следовательно, циркуляция вектора напряженности не равна нулю.

Пример 2

Задание: Исходя из теоремы о циркуляции, покажите, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков.

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ${\varepsilon }_2\ и\ {\varepsilon }_1$ (рис.4). Выберем на этой границе небольшой прямоугольный контур с параметрами a - длина, b - ширина. Ось Х проходит через середины сторон b.

Для электростатического поля выполняется теорема о циркуляции, которая выражается уравнением:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=0\ \left(2.1\right).}\]

При небольших размерах контура циркуляция вектора напряженности и в соответствии с указанным направлением обхода контура интеграл в формуле (2.1) можно представить как:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=E_{1x}a-E_{2x}a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right),}\]

где $\left\langle E_b\right\rangle $- среднее значение $\overrightarrow{E}$ на участках перпендикулярных к границе раздела.

Из (2.2) следует, что:

\[{(E}_{2x}-E_{1x})a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]

Если $b\to 0$, то получаем, что:

Выражение (2.4) выполняется при произвольном выборе оси X, которая лежит на границе раздела диэлектриков. Если представить вектор напряженности в виде двух составляющих (тангенциальной $E_{\tau }\ $ и нормальной $E_n$):

\[\overrightarrow{E_1}=\overrightarrow{E_{1n}}+\overrightarrow{E_{1\tau }},\overrightarrow{E_2}=\overrightarrow{E_{2n}}+\overrightarrow{E_{2\tau }}\ \left(2.5\right).\]

В таком случае из (2.4) запишем:

где $E_{\tau i}$- проекция вектора напряженности на орт $\tau $, направленный вдоль границы раздела диэлектриков.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал электростатического поля. Потенциальная энергия. Связь напряженности и потенциала .

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал ) - скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда: Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... ,n ). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношение ,

где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком .

E = - grad = -Ñ .

Проводники в электростатическом поле. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы. Энергия уединенного проводника и системы зарядов.

Проводники в электростатическом поле. Электростатическая индукция.
К проводникам относят вещества, у которых имеются свободные заряженные частицы, способные двигаться упорядоченно по всему объему тела под действием электрического поля. Заряды таких частиц называют свободными.
Проводниками являются металлы, некоторые химические соединения, водные растворы солей, кислот и щелочей, расплавы солей, ионизированные газы.
Рассмотрим поведение в электрическом поле твердых металлических проводников. В металлах носителями свободных зарядов являются свободные электроны, называемые электронами проводимости.
Если внести незаряженный металлический проводник в однородное электрическое поле, то под действием поля в проводнике возникает направленное движение свободных электронов в направлении, противоположном направлению вектора напряженности Ео этого поля. Электроны будут скапливаться на одной стороне проводника, образуя там избыточный отрицательный заряд, а их недостача на другой стороне проводника приведет к образованию там избыточного положительного заряда, т.е. в проводнике произойдет разделение зарядов. Эти нескомпенсированные разноименные заряды появляются на проводнике только под действием внешнего электрического поля, т.е. такие заряды являются индуцированными (наведенными), а в целом проводник по-прежнему остается незаряженным.

Такой вид электризации, при котором под действием внешнего электрического поля происходит перераспределение зарядов между частями данного тела, называют электростатической индукцией.
Появившиеся вследствие электростатической индукции на противоположных частях проводника нескомпенсированные электрические заряды создают своё собственное электрическое поле, его напряженность Ес внутри проводника направлена против напряженности Ео внешнего поля, в которое помещен проводник. По мере разделения зарядов в проводнике и накопления их на противоположных частях проводника напряженность Ес внутреннего поля увеличивается и становится равной Ео. Это приводит к тому, что напряженность Е результирующего поля внутри проводника становится равной нулю. При этом наступает равновесие зарядов на проводнике.

Рассмотрим уединенный проводник, которому сообщается некоторый электрический заряд Q . Как мы знаем, этот электрический заряд распределяется по поверхности проводника и в окружающем пространстве создает электрическое поле. Напряженность этого поля не постоянна, она изменяется как по величине, так и по направлению (рис. 355).

рис. 355

Но потенциал проводника постоянен во всех его точках. Очевидно, что данный потенциал пропорционален заряду проводника. Следовательно, отношение заряда проводника к его потенциалу не зависит от величины электрического заряда, поэтому это отношение является «чистой» характеристикой проводника, находящегося в определенной среде, которая называется электрической емкостью проводника (электроемкостью).
 Итак, электроемкостью проводника называется отношения электрического заряда проводника к его потенциалу

Как неоднократно было сказано, электрический потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Во избежание неопределенности, в определении (1) полагают, что потенциал стремится к нулю при бесконечном удалении от рассматриваемого проводника:

Можно дать эквивалентное определение: электроемкость проводника равна электрическому заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу 1 .

Электрический ток. Плотность тока. ЭДС. Напряжение. Закон Ома. Сопротивление проводника. Удельное сопротивление.

Электри́ческий ток - направленное (упорядоченное) движение заряженных частиц

Различают переменный, постоянный ток

Постоянный ток - ток, направление и величина которого слабо меняются во времени.

Переменный ток - ток, величина и направление которого меняются во времени. В широком смысле под переменным током понимают любой ток, не являющийся постоянным.

Сила тока - физическая величина, равная отношению количества заряда, прошедшего за некоторое время через поперечное сечение проводника, к величине этого промежутка времени

Плотность тока - вектор, абсолютная величина которого равна отношению силы тока, протекающего через некоторое сечение проводника, перпендикулярное направлению тока, к площади этого сечения, а направление вектора совпадает с направлением движения положительных зарядов, образующих ток.

Величина, равная работе сторонних сил над единичным положительным зарядом называется электродвижущей силой (эдс) .

Закон Ома для участка цепи (без ЭДС):

Закон Ома для полной цепи :

где R – внешнее сопротивление цепи,

r – внутреннее сопротивление источника тока,

R + r – называется полным сопротивлением цепи.

Следствия :

а) если R → 0, источник замкнут накоротко:

где I кз – ток короткого замыкания;

б) если R → ∞, цепь разомкнута: I = 0; U = ε,

т.е. ЭДС источника численно равна напряжению на его зажимах при разомкнутой внешней цепи.

Электрическое сопротивление (R) - это физическая величина, численно равная отношению
напряжения на концах проводника к силе тока, проходящего через проводник.

Однако, сопротивление проводника не зависит от силы тока в цепи и напряжения, а определяется только формой, размерами и материалом проводника. где l - длина проводника (м), S - площадь поперечного сечения (кв.м),
r (ро) - удельное сопротивление (Ом м).

Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.

Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила:

Работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:

Это уравнение, упростив, запишем так:

Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение - элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении (рис. 3.6.):

здесь q = 1 - единичный заряд.

При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L :

Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости - это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.

Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:

Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю .

Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила
F = q E . При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E , dl ) .

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q , напряженность поля которого

.

Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E , dl ).

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q . Если оба заряда, q и Q , положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q 1, Q 2,¼, Q n , работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

.

Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q .

Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l , определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силамиконсервативными , а само поле - потенциальным .

Главная » Отопление » Теорема о циркуляции вектора напряженности. Теорема о циркуляции вектора напряженности Статическое электрическое поле обладает свойствами циркуляция