Перевод из тангенса в градусы. Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, примеры
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .
Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.
В этой статье мы разберем такое понятие, как тангенс угла . Начнем с понятия прямого угла. Прямым углом называется угол равный 90 0 . Угол в котором меньше 90 градусов - называется острым. Угол в котором больше 90 градусов - называется тупым. В развернутом угле 180 градусов.
Изображаем треугольник с прямым углом С, при этом противолежащая сторона будет имеет такое же обозначение (с -будет гипотенузой), аналогично поступаем и с другими углами. Сторона находящаяся противоположно от острого угла - называется катетом.
Синус и косинус находятся с помощью катета и гипотенузы, а именно:
sinA = a/c
cosA = b/c
Формула тангенса
tg A = a/b
другими словами определение тангенса
- это деление противоположного катета на прилежащий
Существует ещё одна равносильная формула тангенса
tg A = sinA/cosA
расшифровывается как деление sin на cos.
Котангенс находится практически аналогично, лишь значения поменяются местами.
ctg A = cosA/sinA
Внимание! В помощь родителям и учителям гдз по математики 5 класс (http://spisaly.ru/gdz/5_klass/math). Все предложенные на сайте книги можно скачать или изучить онлайн. Перейдите по ссылке и узнайте подробнее.
Данные тригонометрические функции, значительно облегчают вычисление углов. Благодаря синусу, косинусу и тангенсу стало возможным, определение всех неизвестных углов в треугольнике, с одним известным.
Обозначения для основных углов:
тангенс 30
- 0,577
тангенс 45
- 1,000
тангенс 60
- 1,732
Существуют специальная , значения которой можно получить при помощи деления значений таблиц синуса и косинуса, но так как это достаточно трудоемкий процесс и нужна данная таблица тангенсов.
Есть очень много задач в которых у треугольника углы равны 90, 30, 60 градусам. либо 90, 45, 45 градусам. Для таких фигур лучше заучить их соотношение, что бы потом было проще.
В первом случае катет противоположный 30 градусам равняется 1/2 от гипотенузы.
Во втором случае гипотенуза превышает катет в?2 раз.
Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (t g α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (c t g α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от - ∞ до + ∞ .
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1 , 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 (x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 (x , y). sin α = y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α - это абсцисса точки A 1 (x , y). cos α = х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 (x , y) к ее абсциссе. t g α = y x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A 1 (x , y) к ее ординате. c t g α = x y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0 , 1) и (0 , - 1). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α .
Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)
При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности - точка A c координатами (1 , 0).
Положительному числу t
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t . Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A (1 , 0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 (x , y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 (x , y) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 (x , y) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Применение тригонометрических функций позволяет заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.
Инструкция
При наличии транспортира заданный угол треугольника можно измерить и по таблице Брадиса найти значение тангенса. Если нет возможности определить градусную величину угла, определите его тангенс с помощью замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на другую сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите результат измерения в числитель дроби. Теперь измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по результатам измерений дробь равна тангенсу угла.
Тангенс угла можно определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также можно вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла - синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В отличие от непрерывных функций синуса и косинуса, тангенс имеет разрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника очевидно, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, поскольку катеты такого прямоугольного треугольника равны.
Тангенс угла – это число, которое определяется соотношением противолежащего и прилежащего к этому углу катетов в треугольнике. Зная только это соотношение дозволено узнать величину угла, скажем, воспользовавшись тригонометрической функцией, обратной тангенсу – арктангенсом.
Инструкция
1. Если у вас есть под рукой таблицы Брадиса в бумажном либо электронном виде, то определение угла сведется к поиску значения в таблице тангенсов. Ему будет сопоставлена величина угла – то есть то, что и требуется обнаружить.
2. Если таблиц нет, то придется вычислять значение арктангенса. Дозволено применять для этого, скажем, типовой калькулятор из состава ОС Windows. Раскройте основное меню, щелкнув кнопку «Пуск» либо нажав клавишу WIN, перейдите в раздел «Все программы», после этого в подраздел «Типовые» и выберите пункт «Калькулятор». Это же дозволено сделать через диалог запуска программ – нажмите сочетание клавиш WIN + R либо выберите в основном меню строку «Исполнить», наберите команду calc и нажмите клавишу Enter либо щелкните кнопку «OK» .
3. Переключите калькулятор в режим, тот, что разрешает вычислять тригонометрические функции. Для этого раскройте в его меню раздел «Вид» и выберите пункт «Инженерный» либо «Ученый» (в зависимости от версии применяемой операционной системы).
4. Введите знаменитое значение тангенса. Это дозволено сделать как с клавиатуры, так и щелкая надобные кнопки интерфейса калькулятора.
5. Удостоверитесь, что в поле «Градусы» стоит отметка, дабы получить итог вычисления именно в градусах, а не в радианах либо градах.
6. Поставьте отметку в чекбоксе с надписью Inv – этим вы инвертируете значения вычисляемых функций, обозначенные на кнопках калькулятора.
7. Щелкните кнопку с надписью tg (тангенс) и калькулятор вычислит значение функции обратной тангенсу – арктангенс. Оно и будет являться желанным углом.
8. Все это же дозволено проделать и с применением онлайн-калькуляторов тригонометрических функций. Обнаружить такие сервисы в интернете довольно легко с подмогой поисковых систем. Да и некоторые из поисковиков (скажем, Google) сами имеют встроенные калькуляторы.
Сайты имеют настоль трудную систему, что порой бывает сложно обнаружить его главное меню . Почаще каждого такой пункт бывает расположен в «шапке» сайта для стремительного перехода к нему. В некоторых случаях переход осуществляется посредством открытия основной страницы, тут все зависит от типа сайта.
Вам понадобится
- – браузер;
- – подключение к интернету.
Инструкция
1. Зайдите на основную страницу сайта и обнаружьте на ней ссылку на меню . Также оно может располагаться прямо на ней. Изредка главное меню может быть спрятано в выпадающем списке, для его просмотра вам нужно будет щелкнуть по ссылке для его раскрытия. Изредка оно имеет вид обыкновенного проводника Windows, и для перехода по его пунктам либо для просмотра оглавления вам нужно будет щелкнуть по плюсику рядом с наименованием директории.
2. Если вы находитесь на определенной странице сайта и не можете обнаружить ссылку для перехода к основной странице, наблюдательно посмотрите на его оглавление и обнаружьте ссылку в виде логотипа либо обыкновенного текстового наименования источника. Также вы можете перейти к основной странице при помощи ввода основного адреса сайта в соответствующую строку вашего обозревателя.
3. Обратите внимание, многие сайты могут содержать несколько меню , скажем, меню настройки профиля пользователя, где указывается его персональная информация и данные для входа, и меню сайта для перехода по его содержимому. В первом случае это может быть ссылка на управление профилем либо редактирование личных данных, параметры учетной записи и так дальше. Во втором – обыкновенное меню , которое упорядочивает содержимое, обеспечивающее переход по разделам согласно их назначению.
4. Если вам нужно обнаружить карту сайта, просмотрите основную страницу на присутствие ссылки на нее. Многие из них легко не содержат карты сайта, от того что ими дюже редко пользуются. Для перехода к основному меню сайта также обращайте внимание на основные его функции, ссылки на которые сохраняются при переходе по страницам. Находясь в определенной ветке какого-нибудь форума, вы можете перейти по ссылкам вверху либо низу блока с темами, обыкновенно там прописывается дерево папок подфорума, в котором вы находитесь.
Полезный совет
Пользуйтесь меню на основной странице.
Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает связанность между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Использование тригонометрических функций дозволяет заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.
Инструкция
1. При наличии транспортира данный угол треугольника дозволено измерить и по таблице Брадиса обнаружить значение тангенса. Если нет вероятности определить градусную величину угла, определите его тангенс с поддержкой замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на иную сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите итог измерения в числитель дроби. Сейчас измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по итогам измерений дробь равна тангенсу угла.
2. Тангенс угла дозволено определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также дозволено вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла - синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В различие от постоянных функций синуса и косинуса, тангенс имеет обрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника видимо, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, от того что катеты такого прямоугольного треугольника равны.
3. При значениях угла от 0 до 90 градусов его тангенс имеет позитивное значение, от того что синус и косинус в этом промежутке позитивны. Пределы метаморфозы тангенса на этом участке – от нуля до беспредельно крупных значений при углах, близких к прямому. При негативных значениях угла его тангенс также меняет знак. График функции Y=tg(x) на промежутке -90°
