Stranice pravokutnog trapeza. Pravokutni trapez i njegova svojstva

Problemi s trapezom ne čine se teškima u brojnim oblicima koji su prethodno proučavani. Kako poseban slučaj razmatra se pravokutni trapez. A kada tražite njegovo područje, ponekad je prikladnije podijeliti ga na dva već poznata: pravokutnik i trokut. Treba samo malo razmisliti i sigurno ćete pronaći rješenje.

Definicija pravokutnog trapeza i njegova svojstva

Proizvoljni trapez ima paralelne osnovice, a stranice mogu imati proizvoljne kutove s njima. Ako uzmemo u obzir pravokutni trapez, tada je jedna od njegovih stranica uvijek okomita na baze. Odnosno, dva kuta u njemu bit će jednaka 90 stupnjeva. Štoviše, oni uvijek pripadaju susjednim vrhovima ili, drugim riječima, istoj strani.

Svaka dijagonala sa svojom manjom stranicom čini pravokutni trokut. A visina, koja je izvučena iz vrha s tupim kutom, dijeli lik na dva dijela. Jedan od njih je pravokutnik, a drugi pravokutni trokut. Usput, ova strana je uvijek jednaka visini trapeza.

Koje oznake se koriste u prikazanim formulama?

Prikladno je odmah navesti sve veličine koje se koriste u različitim izrazima koji opisuju trapez i prikazati ih u tablici:

Formule koje opisuju elemente pravokutnog trapeza

Najjednostavniji od njih odnosi se na visinu i manju stranu:

Još nekoliko formula za ovu stranicu pravokutnog trapeza:

s = d *sinα;

c = (a - b) * tan α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

Prvi slijedi iz pravokutnog trokuta. I kaže da kateta hipotenuze daje sinus suprotnog kuta.

U istom trokutu druga je kateta jednaka razlici dviju baza. Dakle, istinita je tvrdnja da se tangens kuta izjednačuje s omjerom kateta.

Iz istog trokuta može se izvesti formula na temelju poznavanja Pitagorinog teorema. Ovo je treći zabilježeni izraz.

d = (a - b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c 2 + (a - b) 2).

Prva dva su opet dobivena iz omjera stranica u istom pravokutnom trokutu, a druga je izvedena iz Pitagorinog teorema.

Koju formulu možete koristiti za izračunavanje površine?

Onaj koji je dan za slobodni trapez. Samo trebate uzeti u obzir da je visina strana okomita na baze.

S = (a + b) * h / 2.

Ove količine nisu uvijek eksplicitno navedene. Stoga, da biste izračunali površinu pravokutnog trapeza, morat ćete izvršiti neke matematičke izračune.

Što ako trebate izračunati dijagonale?

U ovom slučaju morate vidjeti da tvore dva pravokutna trokuta. To znači da uvijek možete koristiti Pitagorin teorem. Tada će prva dijagonala biti izražena na sljedeći način:

d1 = √ (c 2 + b 2)

ili na drugi način, zamjenom "c" sa "h":

d1 = √ (h 2 + b 2).

Formule za drugu dijagonalu dobivaju se na sličan način:

d2 = √ (c 2 + b 2) ili d 2 = √ (h 2 + a 2).

Zadatak br. 1

Stanje. Površina pravokutnog trapeza je poznata i jednaka je 120 dm 2. Njegova visina je dužina 8 cm. Potrebno je izračunati sve stranice trapeza. Dodatni uvjet je da jedna baza bude za 6 dm manja od druge.

Riješenje. Kako nam je zadan pravokutni trapez kojemu je poznata visina, odmah možemo reći da je jedna stranica 8 dm, odnosno manja stranica.

Sada možete računati drugi: d = √ (c 2 + (a - b) 2). Štoviše, ovdje su i stranica c i razlika baza dane odjednom. Potonji je jednak 6 dm, to je poznato iz uvjeta. Tada će d biti jednako kvadratnom korijenu od (64 + 36), odnosno od 100. Tako se nalazi druga stranica jednaka 10 dm.

Zbroj baza može se pronaći iz formule za površinu. To će biti jednako dvostrukoj površini podijeljenoj s visinom. Ako računate, ispada 240 / 8. To znači da je zbroj osnovica 30 dm. S druge strane, razlika im je 6 dm. Kombinacijom ovih jednadžbi možete računati obje baze:

a + b = 30 i a - b = 6.

Možete izraziti a kao (b + 6), zamijeniti ga u prvu jednakost. Tada se ispostavlja da će 2b biti jednako 24. Prema tome, jednostavno b će ispasti 12 dm.

Tada je zadnja stranica a 18 dm.

Odgovor. Stranice pravokutnog trapeza: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.

Zadatak br. 2

Stanje. Zadan je pravokutni trapez. Njegova glavna stranica jednaka je zbroju baza. Njegova visina je duga 12 cm. Konstruiran je pravokutnik čije su stranice jednake osnovicama trapeza. Potrebno je izračunati površinu ovog pravokutnika.

Riješenje. Morate početi s onim što tražite. Tražena površina se određuje kao umnožak a i b. Obje ove količine su nepoznate.

Bit će potrebno koristiti dodatne jednakosti. Jedan od njih temelji se na tvrdnji iz uvjeta: d = a + b. Potrebno je koristiti treću formulu za ovu stranu, koja je navedena gore. Ispada: d 2 = c 2 + (a - b) 2 ili (a + b) 2 = c 2 + (a - b) 2.

Potrebno je izvršiti transformacije zamjenom umjesto c njegove vrijednosti iz uvjeta - 12. Nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova, ispada da je 144 = 4 ab.

Na početku rješenja je rečeno da a*b daje traženu površinu. Stoga, u zadnjem izrazu možete zamijeniti ovaj umnožak sa S. Jednostavan izračun će dati vrijednost površine. S = 36 cm 2.

Odgovor. Tražena površina je 36 cm 2.

Zadatak br. 3

Stanje. Površina pravokutnog trapeza je 150√3 cm². Oštri kut je 60 stupnjeva. Kut između male baze i manje dijagonale ima isto značenje. Moramo izračunati manju dijagonalu.

Riješenje. Iz svojstava kutova trapeza ispada da je njegov tupi kut 120º. Zatim ga dijagonala dijeli na jednake dijelove, jer jedan dio već ima 60 stupnjeva. Tada je kut između ove dijagonale i druge baze također 60 stupnjeva. To jest, trokut koji čine velika baza, nagnuta stranica i manja dijagonala je jednakostraničan. Tako će željena dijagonala biti jednaka a, kao i bočna stranica d = a.

Sada trebamo razmotriti pravokutni trokut. Treći kut u njemu je 30 stupnjeva. To znači da je kateta nasuprot njoj jednaka polovici hipotenuze. Odnosno, manja osnovica trapeza jednaka je polovici željene dijagonale: b = a/2. Iz nje morate pronaći visinu jednaku strani okomitoj na baze. Strana s nogom ovdje. Iz Pitagorine teoreme:

c = (a/2) * √3.

Sada sve što preostaje je zamijeniti sve količine u formulu površine:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Rješavanje ove jednadžbe daje korijen 20

Odgovor. Manja dijagonala ima duljinu 20 cm.

Svojstva pravokutnog trapeza

• U pravokutni trapez a dva kuta moraju biti prava
• Oba prava kuta pravokutnog trapeza nužno pripadaju susjednim vrhovima
• Oba prava kuta u pravokutnom trapezu nužno su uz istu stranicu
• Dijagonale pravokutnog trapezačine pravokutni trokut s jedne strane
• Duljina strane trapeza okomitog na osnovice jednaka je njegovoj visini
• Kod pravokutnog trapeza baze su paralelne, jedna stranica je okomita na baze, a druga stranica je nagnuta na baze
• Kod pravokutnog trapeza dva kuta su prava, a druga dva su šiljasti i tupi

Zadatak

Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju do danas; znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa...su bili uključeni u proučavanje problematike matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu se prijevara sastoji.

S matematičkog gledišta Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s kvantitete na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.

Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će sustići kornjaču beskrajno brzo."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte skakati na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke različite trenutke vrijeme, ali se iz njih ne može odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim istaknuti Posebna pažnja, je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo.

Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "višestruki skup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sad sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istih apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje počinje zabava.

Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: na različite kovanice dostupno različite količine prljavština, kristalna struktura i raspored atoma svakog novčića je jedinstven...

I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu nije ni blizu laži.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali oni su zato šamani, da pouče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što je potrebno učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite dobivene brojeve. Ovo je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje matematičari koriste. Ali to nije sve.

S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S veliki broj 12345 Ne želim si zavaravati glavu, pogledajmo broj 26 iz članka o . Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.

Oh! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova cura budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

\[(\Large(\text(Free trapezoid)))\]

Definicije

Trapez je konveksni četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza zovu se njegove osnovice, a druge dvije stranice zovu se njegove bočne stranice.

Visina trapeza je okomica povučena iz bilo koje točke jedne osnovice na drugu osnovicu.

Teoremi: svojstva trapeza

1) Zbroj kutova na stranici je \(180^\circ\) .

2) Dijagonale dijele trapez na četiri trokuta od kojih su dva slična, a druga dva jednake veličine.

Dokaz

1) Jer \(AD\paralela BC\), tada su kutovi \(\kut BAD\) i \(\kut ABC\) jednostrani za te pravce i transverzalu \(AB\), dakle, \(\kut BAD +\kut ABC=180^\krug\).

2) Jer \(AD\paralela BC\) i \(BD\) su sekante, tada \(\kut DBC=\kut BDA\) leže poprečno.
Također \(\kut BOC=\kut AOD\) kao okomit.
Dakle, pod dva kuta \(\trokut BOC \sim \trokut AOD\).

Dokažimo to \(S_(\trokut AOB)=S_(\trokut COD)\). Neka \(h\) bude visina trapeza. Zatim \(S_(\trokut ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trokut ACD)\). Zatim: \

Definicija

Sredina trapeza je segment koji povezuje središta stranica.

Teorema

Srednjica trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je njihovom poluzbroju.

Dokaz*

1) Dokažimo paralelizam.

Povucimo kroz točku \(M\) ravnu liniju \(MN"\paralelno AD\) (\(N"\u CD\) ). Zatim, prema Talesovom teoremu (od \(MN"\paralelno AD\paralelno BC, AM=MB\)) točka \(N"\) je sredina segmenta \(CD\). To znači da će se točke \(N\) i \(N"\) poklapati.

2) Dokažimo formulu.

Napravimo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Neka \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Zatim, prema Thalesovom teoremu, \(M"\) i \(N"\) su središta odsječaka \(BB"\) odnosno \(CC"\). Dakle, \(MM"\) – središnja linija\(\trokut ABB"\) , \(NN"\) je srednja linija \(\trokut DCC"\). Stoga: \

Jer \(MN\paralela AD\paralela BC\) i \(BB", CC"\perp AD\), tada su \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) pravokutnici. Prema Thalesovom teoremu, iz \(MN\paralel AD\) i \(AM=MB\) slijedi da je \(B"M"=M"B\) . Dakle, \(B"M"N"C "\) i \(BM"N"C\) su jednaki pravokutnici, dakle, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Tako:

\ \[=\dfrac12 \lijevo(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\lijevo(AD+BC\desno)\]

Teorem: svojstvo proizvoljnog trapeza

Središta osnovica, sjecište dijagonala trapeza i sjecište produžetaka bočnih stranica leže na istoj ravnici.

Dokaz*
Preporuča se da se upoznate s dokazom nakon proučavanja teme "Sličnost trokuta".

1) Dokažimo da točke \(P\), \(N\) i \(M\) leže na istom pravcu.

Nacrtajmo ravnu liniju \(PN\) (\(P\) je sjecište produžetaka bočnih stranica, \(N\) je sredina \(BC\)). Neka siječe stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) polovište \(AD\) .

Razmotrite \(\trikut BPN\) i \(\trikut APM\) . Oni su slični u dva kuta (\(\kut APM\) – općenito, \(\kut PAM=\kut PBN\) kao odgovarajući na \(AD\paralela BC\) i \(AB\) sekanta). Sredstva: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Razmotrite \(\trokut CPN\) i \(\trokut DPM\) . Oni su slični kod dva kuta (\(\kut DPM\) – općenito, \(\kut PDM=\kut PCN\) kao korespondencija kod \(AD\paralela BC\) i \(CD\) sekansa). Sredstva: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ali \(BN=NC\) dakle \(AM=DM\) .

2) Dokažimo da točke \(N, O, M\) leže na istom pravcu.

Neka je \(N\) polovište \(BC\) i \(O\) točka presjeka dijagonala. Nacrtajmo ravnu liniju \(NO\) , ona će sijeći stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) polovište \(AD\) .

\(\trokut BNO\sim \trokut DMO\) uz dva kuta (\(\kut OBN=\kut ODM\) koji leže unakrsno na \(BC\paralelni AD\) i \(BD\) sekanti; \(\kut BON=\kut DOM\) kao okomit). Sredstva: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Također \(\trokut CON\sim \trokut AOM\). Sredstva: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ali \(BN=CN\) stoga \(AM=MD\) .

\[(\Veliki(\text(Istokračni trapez)))\]

Definicije

Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav.

Trapez se naziva jednakokračan ako su mu stranice jednake.

Teoremi: svojstva jednakokračnog trapeza

1) Jednakokračni trapez ima jednake kutove pri osnovici.

2) Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.

3) Dva trokuta koje tvore dijagonale i baza su jednakokračni.

Dokaz

1) Promotrimo jednakokračni trapez \(ABCD\) .

Iz vrhova \(B\) i \(C\) spustimo okomice \(BM\) odnosno \(CN\) na stranicu \(AD\). Budući da \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , tada \(BM\parallel CN\) ; \(AD\paralela BC\) , tada je \(MBCN\) paralelogram, dakle \(BM = CN\) .

Razmotrimo pravokutni trokuti\(ABM\) i \(CDN\) . Budući da su im hipotenuze jednake, a krak \(BM\) jednak kraku \(CN\) , onda su ti trokuti jednaki, dakle \(\kut DAB = \kut CDA\) .

2)

Jer \(AB=CD, \kut A=\kut D, AD\)– opći, zatim prema prvom znaku. Prema tome, \(AC=BD\) .

3) Zato što \(\trokut ABD=\trokut ACD\), zatim \(\kut BDA=\kut CAD\) . Dakle, trokut \(\trokut AOD\) je jednakokračan. Slično se dokazuje da je \(\trokut BOC\) jednakokračan.

Teoremi: znakovi jednakokračnog trapeza

1) Ako trapez ima jednake kutove pri osnovici, onda je jednakokračan.

2) Ako trapez ima jednake dijagonale, onda je jednakokračan.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) takav da je \(\kut A = \kut D\) .

Dovršimo trapez do trokuta \(AED\) kao što je prikazano na slici. Budući da je \(\kut 1 = \kut 2\) , tada je trokut \(AED\) jednakokračan i \(AE = ED\) . Kutovi \(1\) i \(3\) jednaki su kao odgovarajući kutovi za paralelne pravce \(AD\) i \(BC\) i transverzalu \(AB\). Slično, kutovi \(2\) i \(4\) su jednaki, ali \(\kut 1 = \kut 2\), tada \(\kut 3 = \kut 1 = \kut 2 = \kut 4\), dakle, trokut \(BEC\) je također jednakokračan i \(BE = EC\) .

Eventualno \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), odnosno \(AB = CD\), što je i trebalo dokazati.

2) Neka \(AC=BD\) . Jer \(\trokut AOD\sim \trokut BOC\), tada njihov koeficijent sličnosti označavamo kao \(k\) . Onda ako \(BO=x\) , tada \(OD=kx\) . Slično \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Jer \(AC=BD\) , zatim \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . To znači da je \(\trokut AOD\) jednakokračan i \(\kut OAD=\kut ODA\) .

Dakle, prema prvom znaku \(\trokut ABD=\trokut ACD\) (\(AC=BD, \kut OAD=\kut ODA, AD\)- Općenito). Dakle, \(AB=CD\) , zašto.

Dom » Završni radovi » Stranice pravokutnog trapeza. Pravokutni trapez i njegova svojstva