Sažetak lekcije "Međusobni položaji linije i kruga." Uzajamni položaj pravca i kruga

Studijski list

na temu „Međusobni položaj pravca i kružnice. Relativni položaj dviju kružnica"

(3 sata)

Kao rezultat proučavanja teme potrebno vam je:

Književnost:

2. Geometrija. 7. razred. , . Almaty "Atamura". 2012

3. Geometrija. 7. razred. Metodički priručnik. . Almaty "Atamura". 2012

4. Geometrija. 7. razred. Didaktički materijal. . Almaty "Atamura". 2012

5. Geometrija. 7. razred. Zbirka zadataka i vježbi. , . Almaty "Atamura". 2012

Stjecanje znanja je hrabrost,

Umnožiti ih je mudrost,

A vješto ih primijeniti velika je umjetnost.

Zapamtite da morate raditi prema algoritmu.

Ne zaboravite proći kroz provjeru, napraviti bilješke na marginama i ispuniti list s ocjenom teme.

Molimo ne ostavljajte pitanja koja imate bez odgovora.

Budite objektivni tijekom recenzije, to će pomoći i vama i osobi koju recenzirate.

Želim ti uspjeh!

VJEŽBA 1

1) Razmotrite umeđusobni položaj pravca i kružnice i popunite tablicu (3b):

Slučaj 1: Pravac nema niti jednu zajedničku točku s krugom (ne sijeku se)

a https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Slučaj 2 : Pravac i krug imaju samo jednu zajedničku točku (dodiruju se)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Slučaj 3: Pravac ima dvije zajedničke točke s kružnicom (presjecište)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">

2) Pročitajte definicije, teoreme, korolare i naučite ih (5b):

Definicija: Pravac koji s kružnicom ima dvije zajedničke točke naziva se sječna

Definicija : Pravac koji s kružnicom ima samo jednu zajedničku točku i okomit je na polumjer nazivamo tangenta na kružnicu.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="lijevo" width="127" height="114 src="> Korolar 4: Ako je udaljenost od središta kružnice do prave crte veća od polumjera kružnice, tada pravac ne siječe kružnicu.

Teorem 4:

Tangentni segmenti na kružnicu povučeni iz jedne točke jednaki su i jednaki jednaki kutovi s ravnom linijom koja prolazi kroz ovu točku i središte kruga.

3) Odgovorite na pitanja (3b):

1) Kako se pravac i kružnica mogu nalaziti na ravnini?

2) Može li pravac imati tri zajedničke točke s kružnicom?

3) Kako povući tangentu na kružnicu kroz točku koja leži na kružnici?

4) Koliko se tangenti može povući na kružnicu kroz točku:

a) ležeći na krugu;

b) leži unutar kruga;

c) leži izvan kruga?

5) Dana je kružnica ω (O; r) i točka A koja leži unutar kružnice. Koliko će biti presječnih točaka: a) pravca OA; b) greda OA; c) segment OA?

6) Kako podijeliti tetivu kruga na pola?

PROŠIO PROVJERU BR

ZADATAK 2

1) Pročitajte tekst i pogledajte slike. Nacrtajte u bilježnicu, zapišite svoje zaključke i naučite ih (3b):

Razmotrimo moguće slučajeve međusobnog rasporeda dva kruga. Relativni položaj dvaju krugova povezan je s udaljenosti između njihovih središta.

Presječne kružnice: dva kruga presijecati, ako imaju dvije zajedničke točke. Neka R1 I R2 – polumjeri kružnica ω 1 I ω 2 , d Krugovi ω1 I ω2 sijeku ako i samo ako brojevi R1, R 2, d su duljine stranica određenog trokuta, tj. zadovoljavaju sve nejednakosti trokuta:

R1 + R2> d, R1+ d> R2, R 2 + d> R1.

Zaključak:Ako R1 + R2> d ili|R1−R2| < d, Zatim krugovi se sijeku u dvije točke.

Tangentne kružnice: dva kruga briga, ako imaju jednu zajedničku točku. Imaju zajedničku tangentu A. Neka R1 I R2 – polumjeri kružnica ω 1 I ω 2 , d – udaljenost između njihovih središta.

Zaključak:Ako R1 + R2 = d ili|R1−R2|=d , tada se krugovi dodiruju u jednoj zajedničkoj točki koja leži na ravnoj liniji koja prolazi kroz središta krugova.

Disjunktne kružnice: dva kruga ne sijeku se, ako oni nemaju dodirnih točaka. U ovom slučaju, jedan od njih leži unutar drugog, ili leže jedan izvan drugog.

Neka R1 I R2 – polumjeri kružnica ω 1 I ω 2 , d – udaljenost između njihovih središta.

Krug ω 1 I ω2 nalaze jedna izvan druge ako i samo ako R1 + R2 < d . Krug ω1 leži unutra ω2 tada i samo kada |R1−R2| > d .

Zaključak:Ako R1 + R2< d ili|R1−R2| > d, tada se krugovi ne sijeku.

Probni rad" href="/text/category/proverochnie_raboti/" rel="bookmark">probni rad br.1.

ZADATAK 4

1) Odlučite hoćete li odabrati parne ili neparne probleme (2b.):

1. Označite broj zajedničkih točaka pravca i kružnice ako:

a) udaljenost pravca od središta kružnice je 6 cm, a polumjer kružnice 7 cm;

b) udaljenost pravca od središta kružnice je 7 cm, a polumjer kružnice 6 cm;

c) udaljenost pravca od središta kružnice je 8 cm, a polumjer kružnice je 8 cm.

2. Odredi relativni položaj pravca i kružnice ako je:

1. R=16cm, d=12cm; 2. R=8 cm, d=1,2 dm; 3. R=5 cm, d=50mm

3. Kako je to? relativni položaji krugovi ako:

d = 1 dm, R1 = 0,8 dm, R2 = 0,2 dm

d = 40 cm, R1 = 110 cm, R2 = 70 cm

d = 12 cm, R1 = 5 cm, R2 = 3 cm

d = 15dm, R1 = 10dm, R2 = 22cm

4. Označite broj točaka međudjelovanja dviju kružnica polumjerom i razmakom između središta:

a) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 9 cm; b) R = 10 cm, r = 5 cm, OO1 = 4 cm

c) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 6 cm; d) R = 9 cm, r = 7 cm, OO1 = 4 cm.

1. Odredite duljine dvaju odsječaka tetive na koje se dijeli njezin kružni promjer ako je duljina tetive 16 cm, a promjer okomit na nju.

2. Nađi duljinu tetive ako je promjer okomit na nju, a jedan od odsječaka odsječenih promjerom od nje iznosi 2 cm.

3) Dovršite parne ili neparne konstrukcione zadatke (2b):

1. Konstruiraj dvije kružnice polumjera 2 cm i 4 cm, udaljenost između središta im je nula.

2. Nacrtaj dvije kružnice različitih polumjera (3 cm i 2 cm) tako da se dodiruju. Označite udaljenost između njihovih središta crtom. Razmotrite svoje mogućnosti.

3. Konstruiraj kružnicu polumjera 3 cm i ravnu liniju udaljenu 4 cm od središta kružnice.

4. Konstruiraj kružnicu polumjera 4 cm i ravnu crtu udaljenu 2 cm od središta kružnice.

PROVJERA BR

ZADATAK 5

Dobro napravljeno! Možete početi ispitni rad br.2.

ZADATAK 6

1) Pronađite pogrešku u tvrdnji i ispravite je, obrazlažući svoje mišljenje. Odaberite bilo koje dvije tvrdnje (4b.): A) Dva se kruga dodiruju izvana. Njihovi polumjeri su jednaki R = 8 cm i r = 2 cm, udaljenost između središta je d = 6.
B) Dvije kružnice imaju najmanje tri zajedničke točke.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Kružnice nemaju zajedničkih točaka.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Manji krug se nalazi unutar većeg.
D) Dva kruga ne mogu se postaviti tako da jedan bude unutar drugog.

2) Odlučite hoćete li odabrati parne ili neparne probleme (66.):

1. Dva kruga se dodiruju. Polumjer većeg kruga je 19 cm, a polumjer manjeg kruga je za 4 cm manji.

2. Dva kruga se dodiruju. Polumjer većeg kruga je 26 cm, a polumjer manjeg kruga je 2 puta manji. Odredi udaljenost između središta kružnica.

3. Uzmite dvije točke D I F tako da DF = 6 cm. Nacrtajte dva kruga (D, 2 cm) I (F, 3 cm). Kako se nalaze ova dva kruga jedan u odnosu na drugi? Izvući zaključak.

4. Udaljenost između točaka A I U jednaki 7 cm Nacrtajte krugove sa središtima u točkama A I U, radijusi jednaki 3 cm I 4 cm. Kako su raspoređeni krugovi? Izvući zaključak.

5. Između dviju koncentričnih kružnica polumjera 4 cm i 8 cm nalazi se treća kružnica tako da dodiruje prve dvije kružnice. Zašto jednak radijusu ovaj krug?

6. Kružnice čiji su polumjeri 6 cm i 2 cm se sijeku. Štoviše, veći krug prolazi kroz središte manjeg kruga. Odredi udaljenost između središta kružnica.

PROŠIO TEST #6

Probni rad br.1

Odaberite jednu od opcija testa i riješite (10 pitanja, 1 bod za svako):

Ocjena: 10 bodova. – “5”, 9 - 8 b. – “4”, 7 – 6 b. – “3”, 5 b. i ispod - "2"

Probni rad br.2

1) Ispunite tablicu. Odaberite jednu od opcija (6b):

a) relativni položaj dviju kružnica:

b) međusobni položaj pravca i kružnice:

2) Riješite jedan problem na izbor (2b.):

1. Odredite duljine dvaju odsječaka tetive na koje se dijeli njezin kružni promjer ako je duljina tetive 0,8 dm, a promjer okomit na nju.

2. Odredite duljinu tetive ako je promjer okomit na nju, a jedan od isječaka odsječenih promjerom od nje jednak je 0,4 dm.

3) Riješite jedan problem na izbor (2b):

1. Konstruirajte kružnice čija je udaljenost središta manja od razlike polumjera. Označite udaljenost između središta kruga. Izvući zaključak.

2. Konstruirajte kružnice čiji je razmak između središta jednak razlici polumjera tih kružnica. Označite udaljenost između središta kruga. Izvući zaključak.

Ocjena: 10 - 9 bodova. – “5”, 8 - 7 b. – “4”, 6 - 5 b. – “3”, 4 b. i ispod - "2"

Međusobni položaj pravca i kružnice Utvrdimo koliko zajedničkih točaka pravac i kružnica mogu imati ovisno o međusobnom položaju. Jasno je da ako ravna linija prolazi središtem kruga, tada siječe krug na dva kraja promjera koji leži na njemu. ovaj prima.

Neka bude ravno R ne prolazi kroz središte kruga radijusa r. Povucimo okomicu ON na ravnu liniju R i označiti slovom d duljina te okomice, tj. udaljenost od središta te kružnice do pravca (slika 1. ). Istražujemo relativni položaj pravca i kružnice ovisno o odnosu između d I r. Tri su moguća slučaja.

1) d R od točke N odložite dva segmenta NA I NV, duljine koje su jednake (slika 1) Prema Pitagorinom poučku OA=,

0 B= Dakle, bodovi A I U leže na kružnici i stoga su zajedničke točke pravca R i zadani krug.

Dokažimo da linija R i ova kružnica nema drugih zajedničkih točaka. Pretpostavimo da imaju još jednu zajedničku točku C. Zatim medijan O.D. jednakokračan trokut OAS. odnijeli u bazu AC, je visina ovog trokuta, dakle OKODstr. Segmenti O.D. I ON ne podudaraju

od sredine D segment AC ne pristaje s točkom N - središte segmenta , AB. Utvrdili smo da su iz točke O povučene dvije okomice: ON I OD- na ravnu liniju R,što je nemoguće. Tako Ako udaljenost udaljenost od središta kruga do ravne linije manja je od polumjera kruga (d< р), Da pravac i krugDvije su zajedničke točke. U ovom slučaju poziva se linija sječna u odnosu na krug.

2) d=r. U ovom slučaju ON=r, tj. točka N leži na kružnici i stoga je zajednička točka pravca i kružnice (sl. 1, b). Ravno R i kružnica nemaju drugih zajedničkih točaka, jer za bilo koju točku M ravno R. različito od točke N, OM>OH= r(koso OM okomitiji ON), i stoga , točka M ne leži na kružnici. Pa ako utrkeUdaljenost od središta kružnice do pravca jednaka je polumjeru, tada pravac i krug imaju samo jednu zajedničku točku.

3) d>r U ovom slučaju -OH> r Zato . za bilo koju točku M ravno p 0MON.>r( riža . 1,A) Dakle, točka M ne leži na kružnici. Tako, .ako je udaljenost od centra krugaAko je udaljenost do pravca veća od polumjera kružnice, tada pravac i krug nemaju zajedničkih točaka.

Dokazali smo da pravac i kružnica mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke, a ne moraju imati nijednu. Ravna linija s krugom samo jedan zajednička točka se zove tangenta na kružnicu, i njihovi zajedničku točku nazivamo dodirivanjem pravca i kružnice. Na slici 2 je ravna linija R- tangenta na kružnicu sa središtem O, A- točka kontakta.

Dokažimo teorem o svojstvu tangente.

Teorema. Tangenta na kružnicu je okomita Do radijus povučen na točku dodira.

Dokaz. Neka R- tangenta na kružnicu sa središtem O. A- kontaktna točka (vidi sliku 2). Dokažimo to. što je tangenta R okomito na radijus OA.

Pretpostavimo da to nije slučaj. Zatim radijus: OA je nagnuta prema ravnoj liniji R. Budući da je okomica povučena iz točke OKO na ravnu liniju R, manje sklon OA, zatim udaljenosti od središta OKO krug do ravne linije R manji od radijusa. Stoga, ravno R i kružnica imaju dvije zajedničke točke. Ali ovo proturječi uvjetu; ravno R- tangenta. Dakle, ravno R okomito na radijus OA. Teorem je dokazan.

Razmotrimo dvije tangente na kružnicu sa središtem OKO, prolazeći kroz točku A i dodirivanje kruga u točkama U i C (slika 3). Segmenti AB I AC nazovimo tangentni segmentinyh, povučeno iz točke A. Imaju sljedeće svojstvo, koje proizlazi iz dokazanog teorema:

Segmenti tangenti na kružnicu povučeni iz jedne točke jednaki su i tvore jednake kutove s ravnom crtom koja prolazi kroz tu točku i središte kružnice.

Da bismo dokazali ovu tvrdnju, okrenimo se slici 3. Prema teoremu o svojstvu tangente, kutovi 1 i 2 su pravi kutovi, dakle trokuti AVO I ASO pravokutan. Jednaki su jer imaju zajedničku hipotenuzu OA i jednake noge OB I OS. Stoga, AB=AC i 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Riža. 2 sl. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Crtanje promjera kroz točku dodira MI, imat će: ; Zato

Riža. 1 sl. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 visina=177" visina="177">.jpg" width="227 visina=197" visina="197" >

Ovisnost između lukova, tetiva i udaljenosti tetiva od središta.

Teoremi. U jednom krugu odn V jednaki krugovi :

1) ako su lukovi jednaki, onda su i tetive koje ih spajaju jednake i jednako udaljene od središta;

2) ako dva luka manja od polukruga nisu jednaka, tada je veći od njih spojen s većom tetivom, a od obje tetive veći se nalazi bliže središtu .

1) Neka luk AB jednak luku CD(Sl. 1), potrebno je dokazati da su tetive AB i CD jednaki i također jednaki i okomiti OE I OD, spušten od središta do akorda.

Zarotirajmo sektor OAJB oko centra OKO u smjeru označenom strelicom toliko da radijus OKO poklopio s OS. Zatim luk VA ići će u luku CD a zbog njihove jednakosti ti će se lukovi preklapati. To znači da se tetiva AS poklapa s tetivom CD i okomito OE poklopit će se s OD(iz jedne točke može se spustiti samo jedna okomica na ravnu crtu), tj. AB=CD I OE=OD.

2) Neka luk AB(Sl. 2) manje luk CD, i, štoviše, oba su luka manja od polukruga; potrebno je dokazati da akord AB manje akord CD, i okomito OE okomitiji OD. Stavimo ga na luk CD luk SK, jednak AB, i povući pomoćnu tetivu SK, koja je prema dokazanom jednaka akordu AB a jednako udaljeni od centra. Kod trokuta BAKALAR. I SOK dvije strane jedne su jednake dvjema stranama druge (poput polumjera), ali kutovi između tih stranica nisu jednaki; u ovom slučaju, kao što znamo, protiv većeg kuta, tj. lCOD, veća strana mora ležati, što znači CD>CK, i zato CD>AB.

Da to dokažem OE>OD, dirigirat ćemo OLXCK i uzeti u obzir da, prema onome što je dokazano, OE=OL; dakle, dovoljno nam je usporediti OD S OL. U pravokutnom trokutu 0 FM(na slici prekriven crticama) hipotenuza OM više nogu OD; Ali OL>OM; to znači još više OL>OD. i zato OE>OD.

Teorem koji smo dokazali za jedan krug vrijedi i za jednake krugove, jer se takvi krugovi međusobno razlikuju samo po položaju.

Konverzni teoremi. Budući da su u prethodnom odlomku razmotrene sve vrste međusobno isključivih slučajeva u vezi s usporednom veličinom dvaju lukova istog polumjera, te su dobiveni međusobno isključivi zaključci u vezi s usporednom veličinom tetiva i njihovim udaljenostima od središta, tada moraju biti obrnute tvrdnje istina, c. točno:

U jedan krug ili jednaki krugovi:

1) jednake tetive jednako su udaljene od središta i spajaju jednake lukove;

2) tetive jednako udaljene od središta jednake su i spajaju jednake lukove;

3) od dviju nejednakih tetiva, veća je bliža središtu i spaja veći luk;

4) dvije tetive nejednako udaljene od središta, koja je bliža središtu je veća i obuhvaća veći luk.

Ove tvrdnje mogu se lako dokazati kontradikcijom. Na primjer, da dokažemo prvu od njih, razmišljamo na sljedeći način: ako te tetive obuhvaćaju nejednake lukove, tada, prema izravnom teoremu, ne bi bile jednake, što je u suprotnosti s uvjetom; To znači da jednake tetive moraju spajati jednake lukove; a ako su lukovi jednaki, tada su, prema izravnom teoremu, tetive koje ih spajaju jednako udaljene od središta.

Teorema. Promjer je najveća tetiva .

Ako se spojimo na centar OKO krajevi neke tetive koja ne prolazi kroz središte, na primjer akord AB(Sl. 3) tada dobivamo trokut AOB, u kojem je jedna stranica ova tetiva, a druge dvije polumjeri, Ali u trokutu, svaka je stranica manja od zbroja druge dvije strane; dakle akord AB manji od zbroja dva radijusa; dok svaki promjer CD jednak zbroju dva radijusa. To znači da je promjer veći od bilo koje tetive koja ne prolazi kroz središte. Ali budući da je promjer također tetiva, možemo reći da je promjer najveća od tetiva.

Riža. 1 sl. 2

Teorem o tangenti.

Kao što je već spomenuto, tangentni segmenti povučeni na kružnicu iz jedne točke imaju istu duljinu. Ova dužina se zove tangentna udaljenost od točke do kružnice.

Bez teorema tangente nemoguće je riješiti više od jednog problema o upisanim kružnicama, drugim riječima, o kružnicama koje dodiruju stranice mnogokuta.

Tangentne udaljenosti u trokutu.

Odredite duljine odsječaka kojima su stranice trokuta ABC dijele se dodirnim točkama u koje je upisana kružnica (slika 1,a), na primjer, tangentna udaljenost ta od točke A u krug. Dodajmo strane b I c, a zatim od zbroja oduzmite stranu A. Uzimajući u obzir jednakost tangenti povučenih iz jednog vrha, dobivamo 2 ta. Tako,

ta=(b+c-a)/ 2=p-a,

Gdje p=(a+b+c)/ 2 je poluopseg ovog trokuta. Duljina bočnih segmenata uz vrhove U I S, jednaki su redom p-b I p-c.

Slično, za ekscircle trokuta koji dodiruje (izvan) stranicu A(Sl. 1, b), tangentne udaljenosti od U I S jednaki su redom p-c I p-b, i s vrha A- Samo str.

Imajte na umu da se ove formule mogu koristiti i u suprotnom smjeru.

Neka ide u kut VAS upisana je kružnica, a udaljenost tangente od vrha kuta do kružnice jednaka jestr ilip- a, Gdjestr– poluopseg trokuta ABC, A a=BC. Tada krug dodiruje crtu Sunce(odnosno izvan ili unutar trokuta).

Zapravo, neka je, na primjer, udaljenost tangente jednaka p-a. Zatim naše kružnice dodiruju stranice kuta u istim točkama kao i upisana kružnica trokuta ABC, što znači da se poklapa s njim. Stoga dodiruje liniju Sunce.

Opisani četverokut. Iz teorema o jednakosti tangenti odmah slijedi (sl. 2a) da

ako se četverokutu može upisati kružnica, tada su njegovi zbrojevi suprotne strane su jednaki:

AD+ BC= AB+ CD

Primijetimo da je opisani četverokut nužno konveksan. Istina je i suprotno:

Ako je četverokut konveksan i zbrojevi njegovih suprotnih stranica jednaki, tada se u njega može upisati kružnica.

Dokažimo to za četverokut koji nije paralelogram. Neka su neke dvije suprotne stranice četverokuta, na primjer AB I DC, kada se nastavi, presijecat će se u točki E(Slika 2, b). Upišimo krug u trokut ADE. Njegova tangentna udaljenost te do točke E izražen formulom

te=½ (AE+ED-OGLAS).

Ali prema uvjetu, zbrojevi suprotnih stranica četverokuta su jednaki, što znači AD+BC=AB+CD, ili AD=AB+CD-prije Krista. Zamjenom ove vrijednosti u izraz za te, dobivamo

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+prije Krista)= ½ (BE+EC+PRIJE KRISTA),

a ovo je poluopseg trokuta pr.n.e.. Iz gore dokazanog uvjeta tangencije slijedi da se naša kružnica dodiruje prije Krista.

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Dvije tangente povučene na kružnicu iz točke izvan nje jednake su i tvore jednake kutove s pravcem koji tu točku spaja sa središtem, što proizlazi iz jednakosti pravokutnih trokuta AOB i AOB1

Podsjetimo se na važnu definiciju - definiciju kruga]

Definicija:

Kružnica sa središtem u točki O i polumjerom R je skup svih točaka ravnine koje se nalaze na udaljenosti R od točke O.

Obratimo pozornost na to da je kružnica skup svatko točaka koje zadovoljavaju opisani uvjet. Pogledajmo primjer:

Točke A, B, C, D kvadrata jednako su udaljene od točke E, ali nisu kružnica (slika 1).

Riža. 1. Ilustracija na primjer

U u ovom slučaju lik je krug, budući da je sve skup točaka jednako udaljenih od središta.

Spojite li bilo koje dvije točke na kružnici, dobit ćete tetivu. Tetiva koja prolazi središtem naziva se promjer.

MB - akord; AB - promjer; MnB je luk, steže ga tetiva MV;

Kut se naziva središnjim.

Točka O je središte kružnice.

Riža. 2. Ilustracija za primjer

Tako smo se sjetili što je krug i njegovih glavnih elemenata. Sada prijeđimo na razmatranje relativnog položaja kruga i ravne linije.

Dana je kružnica sa središtem O i polumjerom r. Pravac P, udaljenost od središta do pravca, odnosno okomice na OM, jednak je d.

Pretpostavljamo da točka O ne leži na pravcu P.

Zadane su kružnica i pravac, trebamo pronaći broj zajedničkih točaka.

Slučaj 1 - udaljenost od središta kružnice do ravne crte manja je od polumjera kružnice:

U prvom slučaju, kada je udaljenost d manja od polumjera kružnice r, točka M leži unutar kružnice. Od ove točke iscrtat ćemo dva segmenta - MA i MB, čija će duljina biti . Znamo vrijednosti r i d, d je manji od r, što znači da izraz postoji i točke A i B postoje. Ove dvije točke konstrukcijski leže na pravoj liniji. Provjerimo leže li na krugu. Izračunajmo udaljenost OA i OB koristeći Pitagorin teorem:

Riža. 3. Ilustracija za slučaj 1

Udaljenost od središta do dvije točke jednaka je polumjeru kružnice, čime smo dokazali da točke A i B pripadaju kružnici.

Dakle, točke A i B pripadaju pravcu po konstrukciji, one pripadaju krugu po dokazanom - krug i pravac imaju dvije zajedničke točke. Dokažimo da nema drugih točaka (slika 4).

Riža. 4. Ilustracija za dokaz

Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku C na pravoj liniji i pretpostavite da leži na kružnici - udaljenost OS = r. U ovom slučaju, trokut je jednakokračan i njegov medijan ON, koji se ne poklapa s segmentom OM, je visina. Dobivamo kontradikciju: dvije su okomice spuštene iz točke O na ravnu liniju.

Dakle, nema drugih zajedničkih točaka na pravcu P s kružnicom. Dokazali smo da u slučaju kada je udaljenost d manja od polumjera kružnice r, pravac i kružnica imaju samo dvije zajedničke točke.

Drugi slučaj - udaljenost od središta kruga do ravne crte jednaka je polumjeru kruga (slika 5):

Riža. 5. Ilustracija za slučaj 2

Podsjetimo se da je udaljenost od točke do pravca duljina okomice, u ovom slučaju OH je okomica. Kako je prema uvjetu dužina OH jednaka polumjeru kružnice, tada točka H pripada kružnici, dakle točka H je zajednička pravom i kružnicom.

Dokažimo da nema drugih zajedničkih točaka. Nasuprot tome: pretpostavimo da točka C na pravcu pripada kružnici. U tom slučaju je udaljenost OS jednaka r, a onda je OS jednak OH. Ali u pravokutnom trokutu, hipotenuza OC je veća od kraka OH. Imamo kontradikciju. Dakle, pretpostavka je netočna i ne postoji točka osim H koja je zajednička pravcu i krugu. Dokazali smo da u ovom slučaju postoji samo jedna zajednička točka.

Slučaj 3 - udaljenost od središta kruga do ravne linije veća je od polumjera kruga:

Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice. Povučemo okomicu iz točke O na pravac P, dobijemo točku H, koja ne leži na kružnici, jer je OH po uvjetu veća od polumjera kružnice. Dokažimo da niti jedna druga točka na pravcu ne leži na kružnici. To je jasno vidljivo iz pravokutni trokut, čija je hipotenuza OM veća od kraka OH, a time i veća od polumjera kružnice, dakle, točka M ne pripada kružnici, kao ni svaka druga točka na pravcu. Dokazali smo da u tom slučaju kružnica i pravac nemaju zajedničkih točaka (slika 6).

Riža. 6. Ilustracija za slučaj 3

Razmotrimo teorema . Pretpostavimo da pravac AB ima dvije zajedničke točke s kružnicom (slika 7).

Riža. 7. Ilustracija za teorem

Imamo tetivu AB. Točka H, ​​prema dogovoru, je sredina tetive AB i leži na promjeru CD.

Potrebno je dokazati da je u tom slučaju promjer okomit na tetivu.

Dokaz:

Razmotrimo jednakokračan trokut OAB, jednakokračan je jer .

Točka H, ​​prema dogovoru, je polovište tetive, što znači polovište središnje AB jednakokračnog trokuta. Znamo da je medijan jednakokračnog trokuta okomit na njegovu bazu, što znači da je visina: , Dakle, dakle, dokazano je da je promjer koji prolazi sredinom tetive okomit na njega.

Pošteno i obrnuti teorem : ako je promjer okomit na tetivu, onda prolazi njezinom sredinom.

Dana je kružnica sa središtem O, njezin promjer CD i tetiva AB. Poznato je da je promjer okomit na tetivu; potrebno je dokazati da prolazi kroz njenu sredinu (slika 8).

Riža. 8. Ilustracija za teorem

Dokaz:

Razmotrimo jednakokračan trokut OAB, jednakokračan je jer . OH je, prema dogovoru, visina trokuta, budući da je promjer okomit na tetivu. Visina u jednakokračan trokut je ujedno i središnja, pa je AN = HB, što znači da je točka H polovište tetive AB, što znači da je dokazano da promjer okomit na tetivu prolazi njezinom sredinom.

Izravni i obrnuti teorem mogu se generalizirati na sljedeći način.

Teorema:

Promjer je okomit na tetivu ako i samo ako prolazi kroz njezino središte.

Dakle, razmotrili smo sve slučajeve relativnog položaja pravca i kruga. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati tangentu na kružnicu.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. itd. Geometrija 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija 8. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

Domaća zadaća

Zadatak 1. Odredite duljine dvaju odsječaka tetive na koje dijeli njezin kružni promjer ako je duljina tetive 16 cm, a promjer je na nju okomit.

Zadatak 2. Označite broj zajedničkih točaka pravca i kružnice ako je:

a) udaljenost pravca od središta kružnice je 6 cm, a polumjer kružnice 6,05 cm;

b) udaljenost pravca od središta kružnice je 6,05 cm, a polumjer kružnice 6 cm;

c) udaljenost pravca od središta kružnice je 8 cm, a polumjer kružnice 16 cm.

Zadatak 3. Odredite duljinu tetive ako je promjer okomit na nju, a jedan od odsječaka odsječenih promjerom od nje iznosi 2 cm.

Dom » Zidovi » Sažetak lekcije "Međusobni položaji linije i kruga." Uzajamni položaj pravca i kruga