Kako izračunati površinu trokuta s različitim stranama. Površina trokuta
Neki od problema u geometriji, točnije, u planimetriji, zahtijevaju pronalaženje površine zadane figure. Područje bilo koje figure može biti i konačni cilj problema i srednji izračun potreban za zamjenu u više složena formula. Često se u takvim problemima od vas traži da pronađete područje trokuta. Početni podaci mogu varirati. U nekim slučajevima poznata je neka strana trokuta i vrijednost visine povučene na nju, u drugima - opseg trokuta i tako dalje.
Pretpostavimo da se od vas traži da pronađete površinu trokuta ako su poznate tri strane. Za pronalaženje područja takvog trokuta koristi se Heronova formula. Da biste odredili površinu pomoću ove formule, prvo morate izračunati poluopseg trokuta (n). Poznavajući značenja sve tri strane, to je lako učiniti. Morate zbrojiti sve strane trokuta - to će biti njegov opseg, a zatim podijeliti dobivenu vrijednost s dva. Nakon toga potrebno je od vrijednosti poluopsega redom oduzeti duljine svake od tri zadane stranice trokuta, odnosno od n oduzeti a, zatim od n oduzeti b i na kraju od c oduzeti c. n.
Dobivene tri razlike treba međusobno pomnožiti i taj umnožak ponovno pomnožiti s vrijednošću poluperimetra. Nakon što ste izvršili sve gore navedene korake i dobili rezultat množenja, trebate izvući kvadratni korijen iz tog rezultata. Broj koji će se dobiti nakon ekstrakcije korijen, i bit će površina zadanog trokuta. Ako to ukratko zapišemo, formula za površinu trokuta bit će: površina (S) = kvadratni korijen iz (n*(n-a) *(n-b) *(n-c)). Kao što se može razumjeti iz formule, pitanje pronalaženja trokuta s poznate vrijednosti strane vrlo lako.
Na primjer, kako pronaći površinu trokuta ako su poznate 3 strane: stranica a je 3 centimetra, stranica b je 4 centimetra i stranica c je 2 centimetra. Opseg ovog trokuta bit će jednak a + b + c = 3 centimetra + 4 centimetra + 2 centimetra = 9 cm, dakle, poluopseg je 9: 2 = 4,5 centimetara. Dobivamo: S = kvadratni korijen od (4,5 centimetara. * (4,5 centimetra - 3 centimetra) * (4,5 centimetra - 4 centimetra) * (4,5 centimetra - 2 centimetra)) = 2,9 kvadratnih centimetara
Što ako su vrijednosti stranica ne samo poznate, već je također naznačeno da su jednake prema uvjetima problema? U ovom slučaju, kako pronaći površinu trokuta ako su sve strane poznate i također su jednake? Možete ga, naravno, izračunati i koristeći Heronovu formulu o kojoj smo govorili gore, ali čemu nepotrebni izračuni ako je za takav trokut izvedena druga formula, koja je puno jednostavnija od Heronove formule. Pomoću ove formule prvo morate izračunati kvadratni korijen broja 3, zatim podići vrijednost duljine stranice trokuta na drugu potenciju, pomnožiti tu vrijednost na drugu potenciju s korijenom iz broja 3 i podijeliti dobiveni umnožak s brojem 4. Dobit ćete površinu zadanog trokuta . Kada se napiše, ova formula izgleda ovako: S=(a^2*korijen(3)) /4
Neka postoji trokut s jednakim duljinama stranica koje su jednake 3 centimetra. Pomoću ove formule možete dobiti površinu takvog trokuta: S=(3^2*korijen(3)) /4=3,9 kvadratnih centimetara. Da biste provjerili je li površina određenog trokuta ispravno izračunata ili ne, možete izvršiti dodatne izračune pomoću Heronove formule i usporediti dobivene rezultate.
Poluopseg (n) = (3+3+3) /2 = 4,5 centimetara. Prema Heronovoj formuli, nalazimo: S = kvadratni korijen od (4,5 centimetara * (4,5 centimetara - 3 centimetra) * (4,5 centimetara - 3 centimetra) * (4,5 centimetara - 3 centimetra)) = 3 ,9 kvadratnih centimetara. Obje vrijednosti površine, dobivene pomoću različitih formula, podudaraju se. To znači da je površina trokuta točno određena. Pri rješavanju bilo kojeg drugog problema treba uzeti u obzir podatke iz uvjeta i koristiti formulu koja odgovara tim podacima.
Na internetu možete pronaći više od 10 formula za izračunavanje površine trokuta poznate stranke a kutovi trokuta. Međutim, postoji niz složeni primjeri gdje su prema uvjetima zadatka poznati samo jedna stranica i kutovi trokuta ili polumjer opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima ne može se primijeniti jednostavna formula.
Dolje navedene formule omogućit će vam da riješite 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Prijeđimo na razmatranje formula zajedničke površine.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici
Na slici i dolje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika.
a,b,c – stranice trokuta,
R – polumjer opisane kružnice,
r – radijus upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] – visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta, hamma – kutovi u blizini vrhova.
Osnovne formule za površinu trokuta
1. Površina je jednaka polovici umnoška stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranicu. U jeziku formula ova se definicija može napisati na sljedeći način
Dakle, ako su poznata strana i visina, tada će svaki učenik pronaći površinu.
Usput, iz ove formule može se izvesti jedan koristan odnos između visina
2. Ako uzmemo u obzir da se visina trokuta kroz susjednu stranicu izražava ovisnošću
Nakon prve formule površine slijede druge iste vrste
Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad uključuje dvije strane i kut između njih. Ako ispravno označimo stranice i kutove trokuta (kao na gornjoj slici), dobit ćemo dva strane a,b a kut je povezan s trećim Sa (hamma).
3. Za kutove trokuta vrijedi relacija
Ovisnost vam omogućuje korištenje sljedećih formula za područje trokuta u izračunima:
Primjeri ove ovisnosti izuzetno su rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.
4. Ako su poznata stranica i dva susjedna kuta, tada se površina nalazi prema formuli
5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih kutova je sljedeća
Preuređivanjem indeksa možete dobiti ovisnosti za druge strane.
6. Donja formula površine koristi se u zadacima kada su vrhovi trokuta određeni na ravnini koordinatama. U ovom slučaju, površina je jednaka polovici determinante uzete modulo.
7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Najprije pronađite poluopseg trokuta
Zatim odredite područje pomoću formule
ili
Često se koristi u kodu programa kalkulatora.
8. Ako su poznate sve visine trokuta, tada se površina određuje formulom
Teško je izračunati na kalkulatoru, ali u paketima MathCad, Mathematica, Maple područje je "vrijeme dva".
9. Sljedeće formule koriste poznate polumjere upisane i opisane kružnice. 
Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli
10. U primjerima gdje su dane stranice i polumjer ili promjer opisane kružnice, površina se nalazi pomoću formule
11. Sljedeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i kutova trokuta.
I na kraju - posebni slučajevi:
Kvadrat pravokutni trokut
s katetama a i b jednakim polovici njihovog umnoška
Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=
= jedna četvrtina umnoška kvadrata stranice i korijena iz tri.
Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najjednostavnija i najčešće korištena je da se visina pomnoži s duljinom baze i zatim rezultat podijeli s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.
Zasebno ćemo pogledati načine za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.
Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta
Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:
- a, b, c – duljine triju stranica figure koju razmatramo;
- r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
- R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
- α je veličina kuta koji tvore stranice b i c;
- β je veličina kuta između a i c;
- γ je veličina kuta koji čine stranice a i b;
- h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
- p – polovica zbroja stranica a, b i c.
Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako može dovršiti u paralelogram, u kojem će jedna stranica trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta mora biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.
S=½ a b sin γ
Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji one čine. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, kad duljinu stranice a pomnožimo sa sinusom kuta γ, dobivamo visinu trokuta, odnosno h .
Područje dotične figure nalazi se množenjem polovice polumjera kruga koji se u njega može upisati s njegovim opsegom. Drugim riječima, nalazimo umnožak polumjera i polumjera spomenute kružnice.
S= a b c/4R
Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.
Ove formule su univerzalne, jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjerni, jednakokračni, jednakostranični, pravokutni). To se može učiniti pomoću složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.
Površine trokuta s određenim svojstvima
Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Osobitost ove figure je u tome što su njene dvije strane istovremeno i visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada područje nalazimo ovako:
Kako pronaći područje jednakokračan trokut? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Prema tome, njegova se površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a sa sinusom kuta γ.
Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica jednaka a, a veličina svih kutova α. Njegova visina jednaka je polovici umnoška duljine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti s 4.
Kao što se možda sjećate iz školski plan i program Prema geometriji, trokut je lik sastavljen od tri segmenta spojena s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.
Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako ćete pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:
S je površina trokuta,
a, b, c su stranice trokuta,
h je visina trokuta,
R je polumjer opisane kružnice,
p je poluopseg.
Evo osnovnih napomena koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili svoj tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:
U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).
Pravokutni trokut i njegova površina.
Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju dijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.
1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:
U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.
U načelu, više nema potrebe provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.
2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:
Odlučili smo upotrijebiti prvu formulu i s manjim mrljama (crtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.
Jednakokračni trokut i njegova površina.
Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.
Ali prvo, prije nego što pronađemo područje jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na bazi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednake strane. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu; ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta:
